Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Вищий навчальний заклад Антрацитівський коледж інформаційних технологій та економіки

Реферат

З дисципліни: «Вища Математика»

На тему:

Виконала: студентка групи 2БО-10 Перевірила: Шевченко Н.М

Афанасьєва Марія

Вступ

1. Криві лінії другого порядку на площіні

2. Криві лінії у просторі

3. Поверхні другого порядку

4. Деякі приклади застосування кревих та поверхонь обертання

5. Література

1 Криві лінії другого порядку на площіні

Найбільш простим рівнянням з двома змінними є рівняння першого порядку  ,  . Геометрія цього рівняння дуже проста. Наступним за складністю є рівняння другого порядку, яке має загальний вид

,                    (1)

Означення. Кривою другого порядку називається фігура на площині, яка в деякій прямокутній системі координат має рівняння виду (1).

Зауваження. Властивість фігури бути кривою другого порядку є геометричною властивістю, тобто не пов’язана з вибором системи координат. Довести це не дуже складно, якщо скористатися формулами перетворення координат при переході від однієї прямокутної системи координат до другої. (Доведіть це,  користуючись методом від супротивного!)

Приклади знайомих кривих другого порядку:

1)       ,   , ‑ коло з центром в точці   і радіусом  ;

2)       ,   , - пара прямих, що перетинаються;

3)       ,   , - пара паралельних прямих;

4)        - “здвоєна” пряма;

5)        - порожня множина;

6)       ,   , - гіпербола.

Означення. Еліпсом називається фігура, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням        ,   ,  .                        (2)

Зауваження. Коло є окремим випадком еліпса при  .

Теорема 1. Еліпс є фігура, яка отримана стисненням або розтягуванням кола до одного з його діаметрів.

□  Нехай коло   стиснуто до (розтягнуто від) осі   з коефіцієнтом   (рис. 18), тобто довільна точка   кола перейшла в точку  , де  ,  . Тоді має місце рівність  , або  . Точки “стиснутого” кола задовольняють рівняння  .

І навпаки, якщо точка   задовольняє рівняння  , то точка   належить колу  :    . ■

Означення. Гіперболою називається фігура, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням:

                              ,   ,  .                                                   (3)

Зауваження. “Шкільна” гіпербола   є окремим випадком гіперболи, бо її рівняння після повороту прямокутної системи координат на   навколо початку координат набуває вигляду  . Ця гіпербола називається рівнобічною.

Теорема 2. Гіпербола є фігурою, яка отримана стисненням або розтягуванням рівнобічної гіперболи до однієї з її осей симетрії.

Доведення теореми 2 аналогічне доведенню теореми 1.

Означення. Параболою називається крива, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням        ,   ,                                    (4)

Зауваження. Рівняння “шкільної” параболи  ,  , можна привести до виду (4) перетворенням системи координат. Тобто клас кривих виду (4) співпадає з класом “шкільних” парабол.

Висновок. Існує 8 різних видів кривих другого порядку:

1)  ;    2)  ;     3)  ;     4)  ;

5)  ;           6)  ;             7)  ;   8)  ,  .

У розділі 5 буде доведено, що, окрім вказаних, інших видів кривих другого порядку не існує. Цей факт є основною теоремою теорії кривих другого порядку.

Дослідження властивостей кривих другого порядку

Проілюструємо застосування методу координат для дослідження властивостей фігури, яка визначена рівнянням, на прикладі еліпса.

Нехай дано рівняння еліпса  . Можна вважати що  . Якщо  , то еліпс є колом, властивості якого вам добре відомі. Відповідна система координат називається канонічною.