Шпаргалки по ТОЭ 4 семестр

1. Основные сведения прямом и обратном преобразовании Лапласа.

1. Прямое преобразование Лапласа:

Пусть функция , , где - абсцисса сходимости. Указанный сигнал преобразуем по Лапласу следующем образом: (1), где - изображение, а - оригинал. . Выражение (1) – сходящийся интеграл, а функция - непрерывна и дифференцируема при условии, что . Из этого следует, что особые точки - корни знаменателя данной функции при которых . Эти точки располагаются в левой полуплоскости относительно границы .

Обратным преобразованием Лапласа называется интегральный ряд (2). Для нахождения оригинала используем не интеграл (2), а теорему о разложении, согласно которой , где - полиномы, . Полином можно представить в виде произведения с учетом корней: . Таким образом

2. Свойства и теоремы преобразования Лапласа:

1. Свойство Линейности (однородности и аддитивности):

2. теорема дифференцирования:

, логично что: .

3. теорема интегрирования:

Если , то .

4. теорема смещения в области :

.

5. теорема о смещении во временной области:

.

6. предельные теоремы:

и .

7. теорема подобия: .

8. Изображение комплексной функции: - комплексная функция, то

9. теорема интегрирования и диф. по параметру:

и

3. Законы Кирхгофа и схемы замещения в операторной схеме.

1. Законы Кирхгофа в s-области: , .

2. Операторная схема замещения R-элемента:

ВАХ: . Согласно свойству однородности: . Сопротивление не зависит от . .

3. Операторная схема замешения L-элемента:

ВАХ: . По т.Дифф.: . Изобразим для этого экв.

схему замещения. Или по другому:

АВХ: . По т.Инт: .

Таким образом в операторной схеме замещения - элемент щамещается двумя элементами: сопротивлением и независимым источником (ИН, ИТ).

4. Операторная схема замещения С-элемента:

АВХ . Схема выглядит так:

ВАХ: .

В зависимости от используемого метода решения (МУН, МКТ) используют наиболее подходящие варианты схем замещения.

4. Расчет переходных процессов в цепях операторным методом.

1. (режим до коммутации). Если в цепи постоянное воздействие . Находим .

2. (после коммутации). Составляется операторная схема замещения цепи на основе операторных схем замещения -элементов (в цепи дополнительно появляются либо ИН, либо ИТ, которые зависят от ). В полученной схеме рассчитываются изображения реакций.

3. Переход в -область. По найденным изображениям находят образы реакций.

Удобство: относительная простота при повышении порядка цепи

5. Передаточная функция цепи и ее связь с диф.ур., .

1. Передаточная функция: . Передаточная функция определяется как реакция цепи, изображенной в операторной области с ННУ и в качестве входного сигнала используется значение «1» (изображение ). 2. Для нахождения импульсной характеристики необходимо использовать теорему о разложении поскольку есть оригинал передаточной функции и использовать обратное преобразование Лапласа. 3.

4. Частотные характеристики цепи формируем из мередаточной функции с параметром . 5. Связь с диф.ур. цепи: . Используем т.Диф. при ННУ: , . Сл-но: Нули -значения при которых . Полюсы – при котых . Полюсы должны совпадать с корнями хар. поем из мередаточной функции с параметром азложении поскольку 0000000000000000000000000000линома цепи.

6. Периодические сигналы. Тригонометрические формы ряда Фурье.

Периодическим сигналом называется сигнал, удовлетворяющий условию: . Пусть периодические сигнал удовлетворяет условию Дирихле: 1) сигнал непрерывен и может иметь разрыва 1ого рода. 2) на периоде сигнал ограничен и имеет конечное число экстремумов. Тогда он может быть представлен в виде ряда Фурье: - sin-cos-форма записи, где , . Из sin-cos-формы можно перейти в cos-форму: , где , , т.о. .

7. Ряд Фурье в комплексной форме.

Рассмотри sin-cos-форму ряда Фурье: (1). На основе следующих равенств: и получаем свойства, что . Согласчаем свойства, что тв: орме.

иде ряда Фурье: ло экстрерумов.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000но данным свойствам (1) имеет вид: , где .

8. Дискретные характеристики периодического сигнала.

Пусть - комплексный спектр сигнала . - амплитудный спектр. - фазовый спектр. Указанные спектры являются функциями и изображаются в следующем виде. В соответствии с указанными свойствами построения спектров периодических сигналов выполнялся лишь в положительной области переменной , либо в положительной области (частотной области). Поскольку спектры периодических сигналов существуют только в () , то указанные спектры являются дискретными. Следует отметить, что из выражения ряда Фурье в sin-cos-форме следует свойства: 1) - четная функция может быть описана рядом Фурье лишь () ; 2) - нечсетная функция может быть описана рядом Фурье . На практике для построения спектров периодического сигнала используют cos-форму ряда Фурье: (1). Выражение (1) называется гармоникой, если работа ведется с сигналами вида напряжения и тока, то форма (1) имеет вид: , где - нулевая гармоника, а - амплитудное значение. . На практике ряд Фурье ограничивают с учетом полосы пропускания цепи и ширины спектра сигнала. В результате выражение (1) – представление периодического сигнала бесконечной суммы его гармоник.

9. Использование преобразования Лапласа для расчета коэффициентов ряда Фурье и спектра периодического сигнала.

Для определенности рассмотрения перехода к преобразованию Лапласа изменим пределы интегрирования..

Рассмотрим функцию

. Т.о.: . Согласно указанному выражению для нахождения комплексного спектра периодического сигнала необходимо проделать следующие операции: 1) в периодическом сигнале выделить сигнал на первом периоде. 2) найти изображение одиночного импульса. 3) Выполнить замену в виде равенства , и вычислить при различных комплексный спектр. .

10. Мощность в установившимся периодическом режиме. Действующие значения токов и напряжений.

Мощность или активная мощность определяется по формуле:

. Вывод: Активная мощность в цепи при периодических сигналах = сумме активных мощностей, определяемых на каждой гармонике. На основе аналогичных выводов можно получить аналогичное выражение для действующих значение токов и напряжений, если эти сигналы периодичны:

, . Отметим:

Указанные выражения для наглядности расчета представлены в виде:

Анализ установившихся периодических процессов в цепях.

Считается, что после коммутации переходный процесс закончился и в цепи действует вынужденный режим. При постоянных и гармонических воздействиях вынужденный режим называется установившимся. В вынужденном режиме выходной сигнал цепи имеет форму воздействия, поэтому при периодических воздействиях вынужденная составляющая реакции тоже периодична. Ее расчет выполняется следующим образом: 1) периодический входной сигнал представляется в виде отрезка ряда Фурье , где - амплитудный спектр воздействия, а - фазовый. Чем больше тем точнее восстанавливается входной сигнал цепи. 2) определяются частотные характеристики цепи . Вычисляются дискретные спектры и формируется выходной сигнал цепи: . Результат:

111. Переход от периодических сигналов к апериодическим и отрядов Фурье к интегралу Фурье.

Периодический сигнал, удовлетворяющий условиям Дирихле раскладываем в ряд Фурье: (1) – комплексный вид. (2). Подставим выражение (2) в выражение (1). (3). Перейдем от периодического сигнала к апериодическому сигналу, введя предположение, что апериодический сигнал это периодический сигнал с . Из указанного условия следует: расстояние м/у отсчетами дискретного спектра, мал и в пределе дискретный сперт превращается в непрерывную функцию. . Сумма переходит в интерал: . На основе указанного перехода апериодически сигнал с использованием выражения (3) модно представить в виде: по прямому преобразованию Фурье. (4)

12. Связь преобразования Лапласа с односторонним преобразованием Фурье.

Пусть функция непериодическая, обладающая свойствами: и тогда односторонние преобразования Фурье имеют вид: . Сравним указанные формулы (1) и (2) с формулами преобразования Лапласа:

. Из указанных равенств следует, что формулы (3) и (4) тождественно равны (1) и (2) при условии . Следует отметить, что спектральное представление, получаемое на основе преобразования Фурье непериодических сигналов, водится для качественного анализа степени искажения входного сигнала, проходящего через цепь.

13. Спектральные характеристики апериодического сигнала, частотные характеристики с точки зрения спектра.

Для рассмотрения спектральных характеристик апериодического сигнала используют прямое преобразование Фурье. . У четных сигналов существует лишь вещественный спектр (). У нечетных сигналов лишь мнимый спектр (). Из указанных спектров формируется - амплитудный спектр. - фазовый спектр. Спектры непериодических сигналов являются непрерывными функциями частоты: - комплексный спектр. Спектры непериодических сигналов в результате формируется следующим образом: . . Таким образом частотные характеристики цепи это фазовые и амплитудные сперты импульсной характеристики . На основе спектрального спектра запишем представление непериодического сигнала.

. Таким образом периодический сигнал удовлетворяющий условию Дирихле представляется в виде ряда Фурье ( - непериодический, обладающий свойством: (5)) могут быть описаны преобразованием в ряд Фурье. (4) существуют при выполнении условий (5).

14. Связь сплошного спектра одиночного импульса с дискретным спектром периодической последовательности импульсов этой же форму.

Тут типа графики функций . С характеристиками [ и ] и [ и ] соответственно. ; . , где - комплексный спектр. - амплитудный спектр; - фазовый спектр. Таким образом амплитудный спектр непериодического сигнала является огибающей с коэффициентом амплитудного спектра периодического сигнала. Дискретный фазовый спектр периодического сигнала формируется путем дискретизации частотной области из фазового спектра одиночного сигнала.

(1). В симметричных пределах с нечетной функцией sin под знаком интеграла они стремятся к 0. Таким образом непериодических сигнал формируется бесконечной суммой гармонических составляющих амплитуды которых образуют амплитудный спектр, а начальные фазы – фазовые спектры. Из выражения (1) следует, что реально амплитудами гармоник являются поэтому в действительность амплитуды гармоник характеризуются плотностью распределения амплитудного спектра по частоте. В результате точное название амплитудного спектра это спектральная плотность амплитуд указанных выше гармоник.

15. Ширина спектра и ее связь с длительностью и крутизной сигнала.

Рассмотри одиночный апериодический сигнал , для которого определим энергию: . На основе полученной связи энергии сигнала и его амплитудного спектра формируется энергетический критерий определения ширины спектра. Шириной спектра называется диапазон частот в районе в котором сосредоточенно энергии сигнала (). На практике для определения ширины спектра используют амплитудный критерий: Шириной спектра называют диапазон частот, в котором значения амплитудного спектра удовлетворяют условию: . В этом критерии в качестве может быть 5, 10. 5% амплитудный критерий соответствует 95% энергетическому, а 10% - 99%. Таким образом ширина спектра – определяется графически.

Существуют два сигнала одной формы, но разной длительности. Данное изменение спектров наблюдается на основе свойства введенного преобразования Лапласа: . Если длительность сигнала изменить в несколько раз (), то в столько раз измениться его спектр (). Чем короче сигнал тем шире его спектр.

Крутой сигнал – сигнал, содержащий разрыв 1ого рода его производной с меньшим номером.