2.9. Распределение напряжения по длине волокон..
Анализируя прочность КМ, армированных параллельными дискретными волокнами, мы отметили, что от матрицы к волокну нагрузка передается за счет касательных напряжений τ, действующих на границе раздела. Эти напряжения, как и нормальные напряжения в волокнах, на концах волокна и в средней его части не одинаковы.
Закономерности распределения напряжений вдоль волокон. Разработано несколько моделей, позволяющих установить распределение напряжений. Приводят эти модели к качественно одинаковым результатам, поэтому мы рассмотрим только одну из них, предложенную Б. Розеном.
Рис. 14. К расчету распределения напряжений по длине волокна при растяжении однонаправленной композиции с дискретными волокнами: а- модель элемента КМ; б- элементарный отрезок волокна; в-элементарный отрезок матрицы в деформированном состоянии.
Модель
(рис. 14,а) представляет собой волокно
радиусом
и длиной 2
,
жестко связанное с тонким цилиндрическим
слоем матричного материала радиусом
,
который в свою очередь окружен оболочкой
радиусом
из материала с осредненными свойствами
композиции. Пусть ось волокна совпадает
с осью z,
а ось х
проходит перпендикулярно к ней через
середину волокна. Предполагается, что
волокна несут только нормальные
напряжения
,
а матричный слой- только касательные
напряжения τ
, которые в этом слое локализуются, а в
оболочке с осредненными свойствами
композиции отсутствуют. Нагружена
модель внешним напряжением
,
параллельным оси волокон, при этом торцы
волокна в передаче напряжений участия
не принимают.
Выделим
элементарный отрезок волокна длиной
dz
(рис. 14,б) и запишем условия равновесия
сил, действующих на него. Этот отрезок
нагружен касательными напряжениями τ
по периферии и нормальными
по торцам. Суммарная сдвиговая нагрузка,
действующая на него, равна
,
а суммарная нормальная-
.
Условие равновесия запишется так:
+ =0,
или
.
(1.64)
Условие равновесия сил, действующих на всю модель в направлении оси z, при условии, что матрица нормальных нагрузок не несет, можно записать в виде
,
или
,
(1.65)
где
-нормальное
напряжение в «осредненном» КМ.
Под действием касательных напряжений τ матричный слой вместе с ним «осредненный» КМ сдвигаются по отношению к волокну. Для элементарного отрезка матрицы (рис. 14, в) величину тангенса угла сдвига можно выразить как
,
(1.66)
где
-
осевое перемещение волокна; u
– осевое перемещение «осредненного»
материала.
Предположим,
что волокно, матрица и «осредненный»
материал деформируются упруго и,
следовательно, подчиняются закону Гука.
В силу малости угла
γ
можно считать, что
,
и записать
.
(1.67)
Продифференцируем
обе части равенства (1.67) по z,
учитывая при этом известные из
сопротивления материалов соотношения
и
,
где ε- относительная деформация, Е и G
– модули нормальной упругости и сдвига.
Тогда получим
,
или
.
(1.68)
Здесь
ε и
-
относительные линейные деформации
«осредненного» материала и волокна,
соответственно;
и
-
модули Юнга «осредненного» КМ и волокна;
-
модуль сдвига матрицы.
Продифференцировав еще раз по z уравнение (1.68), получаем
.
(1.69)
Если продифференцируем по z уравнение (1.65), то получим
,
или
.
(1.70)
Подставив
в уравнение (1.69) вместо
выражение (1.70), а вместо
выражение (1.64), приходим к дифференциальному
уравнению относительно касательных
напряжений τ
:
,
(1.71)
где
.
(1.72)
Решение уравнения (1.71) имеет вид
.
(1.73)
Используя граничные условия: τ =0 при z =0 и =0 при z =l (начало координат находится в середине волокна), приходим к уравнениям, устанавливающим зависимость касательных и нормальных напряжений от координаты z:
;
(1.74)
.
(1.75)
Нормальные напряжения в волокне увеличиваются от концов волокна к его середине, достигая при z =0 максимального значения
.
(1.76)
Касательные напряжения имеют наибольшую величину на конце волокна (при z = l) и уменьшаются до нуля в его середине (при z =0). Эпюры нормальных и касательных напряжений представлены на рис. 15.
Если
принять, что
,
то безразмерный параметр
(1.77)
и тогда уравнения (1.74) и (1.75) можно привести к виду
(1.78)
и
,
(1.79)
где
- максимальное нормальное напряжение
в бесконечно длинном волокне.
Если матрица проявляет пластические свойства, то концентрация касательных напряжений у концов волокна уменьшается, однако характер изменения напряжений по длине волокна остается тем же.
Рис.15.Распределение нормальных и касательных напряжений по длине
волокна при растяжении КМ, содержащего 70% волокон.
Неэффективная длина волокон. Поскольку нормальные напряжения у концов малы, волокна здесь оказываются недогруженными. В результате часть волокна «неэффективна» как элемент, несущий нагрузку. Длина этой части зависит от соотношения упругих свойств матрицы и волокон, от геометрических параметров модели.
Неэффективно нагруженные участки волокон имеются и при растяжении КМ с непрерывной арматурой. Обычно волокна обладают существенным разбросом прочности и часть из них разрушается даже при сравнительно низких напряжениях. У концов разрушившихся волокон напряжения распределяются примерно так же, как у концов дискретных волокон, поэтому концы сломанных волокон не создают упрочнения т.е оказываются неэффективными. Точно определить размер неэффективной части волокна нельзя: это понятие условное полезное при рассмотрении статистической модели прочности КМ.
Условимся
называть неэффективной
длиной волокна l*
такое расстояние от его конца, на котором
растягивающее напряжение
в волокне достигает определенной,
наперед заданной части напряжения в
бесконечно длинном волокне
.
Иными словами, в конце неэффективного
отрезка волокна
,
где φ – коэффициент, меньший 1;обычно считают разумным φ≈0,9.
Если
в уравнение (1.79) положить
;
и решить его относительно z
(при этом z
=
l*),
получим
.
(1.80)
Чтобы волокна были нагружены эффективно (напряжение в их середине превышает 0,9 ), нужно их длину брать большей 2 l*, поскольку неэффективные участки существуют у обоих концов. Эффективный участок в этом случае – отрезок длиной L-2 l*, где L – общая длина волокна. С увеличением L эффективность армирования увеличивается. При упруго- пластическом поведении матрицы неэффективная длина волокна больше, чем при чисто упругом.