Аннотация

В дипломной работе представлена Multi-VaR-схема решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности, описана геометрическая интерпретация задачи оптимизации, численные алгоритмы её реализации и учета ограничений линейного вида.

Проведено исследование Multi-VaR-схемы на выборках значений эффективностей, а также анализ используемых алгоритмов, и сравнение результатов, полученных с помощью различных схем решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности.

Рассмотрен дополнительный критерий α и связанная с ним характеристика эффективных портфелей – адаптационная устойчивость. Адаптационная устойчивость определяет возможность с наименьшими потерями производить реструктуризацию портфеля в динамическом режиме. Рассчитаны значения критерия α для эффективных портфелей, сформированных на основе различных схем, и произведен анализ полученных результатов.

Содержание

Стр.

Введение................................................................................................................5

Глава 1. Multi-VaR-схема формирования эффективных портфелей..............10

§1.1 Существующие постановки задач формирования эффективных портфелей................................................................................................................10

§1.2 Multi-VaR-схема задачи формирования эффективных портфелей....12

Глава 2. Решение задачи многокритериальной оптимизации в рамках Multi-VaR-схемы.............................................................................................................14

§2.1 Схема численного решения....................................................................14

§2.2 Численные алгоритмы оптимизации.....................................................16

§2.3 Геометрическая интерпретация Multi-VaR-схемы и критерии

оценки эффективности схемы........................................................................19

Глава 3. Исследование Multi-VaR-схемы на выборках значений

эффективностей....................................................................................................22

§3.1 Постановка задачи...................................................................................22

§3.2 Исследование Multi-VaR-схемы.............................................................23

§3.3 Учет ограничений линейного вида.........................................................31

Глава 4. Применение схем формирования эффективных портфелей для определения очередности реализации инвестиционных проектов..........................33

§4.1 Постановка задачи....................................................................................33

§4.2 Построение ковариационной матрицы...................................................34

§4.3 Применение Multi-VaR-схемы формирования эффективных портфелей для определения очередности реализации инвестиционных проектов......................................................................................................................37

§4.4 Решение задач формирования эффективных портфелей ....................38

Глава 5. Оценка адаптационной устойчивости эффективных портфелей..41

§5.1 Анализ принимаемых решений о распределении ресурсов.................41

§5.2 Диаграммы Лоренца и характер распределения значений в числовых рядах..................................................................................................................43

§5.3 Аппроксимирующая функция и критерий α.........................................45

§5.4 Адаптационная устойчивость числовых рядов с различным характером распределения значений элементов........................................................46

§5.5 Решение задач оценки адаптационной устойчивости эффективных портфелей.........................................................................................................47

Заключение............................................................................................................49

Список использованной литературы..................................................................51

Приложения...........................................................................................................52

Введение

В настоящее время возрос научный интерес к задачам математического моделирования экономических систем и процессов. Большое число такого рода задач связано с оптимальным распределением ресурсов. Эти задачи являются особенно актуальными ввиду ограниченности большинства существующих ресурсов. По мнению многих экономистов, большинство проблем современной экономики связаны со все усиливающимся влиянием ограничений на ресурсы различного характера.

В последние время в России появились и стали бурно развиваться рыночные структуры, такие как: прямые инвестиции в проекты, рынки ценных бумаг и т.д. Их развитию способствовало наличие базы и опыта существования подобных институтов в странах Европы, Азии и США. Участники инвестиционных рынков преследуют цели получения максимальной рентабельности, при этом обычно ресурсы, которыми они распоряжаются ограничены.

Начальный этап развития теории инвестиций, относится к 20-30-м годам ХХ-го столетия и является периодом зарождения теории портфельных инвестиций. Само понятие портфель можно трактовать как совокупность всех инвестиций физического или юридического лица, рассматриваемая как единое целое. Этот этап представлен основополагающими работами И. Фишера [1-2] по теории процентной ставки и приведенной стоимости. Эти теоретические положения во многом были подкреплены бурным расцветом индустрии первых взаимных фондов в США, активно присутствующих в то время на американском биржевом рынке.

Важной особенностью работ довоенного периода является использование гипотезы о полной определенности условий в процессе принятия инвестиционных решений. Математические средства, применяемые в анализе того времени, сводились к элементарной алгебре и началам фундаментального анализа. Совокупность этих средств, ориентированных на проведение инвестиционных расчетов в условиях определенности, получила название финансовой математики. Несмотря на детерминированный подход, важность факторов неопределенности и риска в инвестиционных проблемах сознавалась вполне четко.

Началом современной теории инвестиций считают 1952 г., когда появилась статья Г. Марковица [3] под названием "Выбор портфеля". В этой статье впервые была предложена математическая модель формирования оптимального инвестиционного портфеля и методы построения таких портфелей при определенных условиях на основе теоретико-вероятностной формализации понятия доходности и риска. Доходность портфеля рассчитывалась как математическое ожидание случайной величины, характеризующей эффективность портфеля, а риск – среднеквадратичное отклонение этой величины от математическоо ожидания.

Лишь применение вероятностных методов позволило существенно продвинуться в исследовании влияния риска на принятие инвестиционных решений. Именно работы этого направления и получили название "современная теория инвестиций". Таким образом, понятие риска и его измерение в рамках математической модели являются основой современной теории инвестиций.

Влияние теории Марковица значительно усилилось после появления в конце 50-х годов работ Тобина [4] по аналогичной тематике, но имеющих другой подход. В работах Тобина основной темой становится анализ факторов, побуждающих инвесторов формировать портфели активов вместо сохранения инвестиционного капитала в какой-то одной форме (например, налично-денежной). Поэтому Тобин включил в анализ безрисковые активы и главной задачей и в теории, и на практике считал оптимальное распределение инвестиционного капитала между безрисковыми и рисковыми вложениями.

Хотя предположение Тобина о возможности чисто безрисковых вложений на практике строго не выполнимо, решение задачи Тобина с использованием слаборисковых активов оказывается близким к расчетному и поэтому имеет практическое значение.

В самом начале 60-х годов учеником Марковица У. Шарпом была предложена так называемая однофакторная модель инвестиционного рынка капиталов [5], в которой впервые появились ставшие знаменитыми впоследствии "альфа" и "бета"- характеристики акций. На основе однофакторной модели Шарп впоследствии предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, который сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. В простейших случаях, для небольших размерностей, эта задача могла быть решена практически "вручную". Такое упрощение сделало методы портфельной оптимизации применимыми на практике. К 70-м гг. развитие программирования, а также совершенствование статистической техники оценивания показателей "альфа" и "бета" отдельных ценных бумаг и индекса доходности рынка в целом привело к появлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.

С 1964 г. появляются работы Шарпа [6], Линтнера, Моссина, открывшие следующий этап в инвестиционной теории, связанный с так называемой моделью оценки капитальных активов, или САРМ (Capital Asset Pricing Model). Результаты, полученные в этих работах, основаны на исходных предположениях Марковица, дополненных следующими:

1. Для всех инвесторов период вложения одинаков.

2. Информация свободно и незамедлительно доступна для всех инвесторов.

3. Инвесторы имеют однородные ожидания, т.е. одинаково оценивают будущие доходности, риск и ковариации доходностей ценных бумаг.

4. Безрисковая процентная ставка одинакова для всех инвесторов

В совокупности все исходные предположения описывают так называемый совершенный инвестиционный рынок ценных бумаг, на котором отсутствуют препятствующие инвестициям факторы.

Несмотря на это, САРМ остается самой значительной и влиятельной современной финансовой теорией. Практические руководства по финансовому менеджменту в части выбора стратегии долгосрочного инвестирования основываются исключительно на САРМ, но используют различные приближения лежащих в ее основе понятий.

Модель Марковица является основой для вышеизложенных схем. Но схема Марковица имеет ряд недостатков, в частности понятие риска в этой схеме не всегда отвечает общепринятым понятиям [7]. Кроме того, взяв в качестве риска дисперсию, существует вероятность прийти к противоречию при рассмотрении простых задач, допускающих аналитическое рассмотрение. В связи с этим были предложены новые схемы распределении ресурсов использующих другие понятия доходности и риска [8], а также модификации схемы Марковица, помимо уже рассмотренных.

Принципиально другим подходом, отличным от схемы Марковица, является VaR-схема, которая использует понятие риска как вероятность реализации неблагоприятной ситуации, причем такой подход распространен во многих прикладных областях науки и техники. Появление такой схемы привело к появлению новых расчетных методов. Большой толчок развития новых схем, требующих колоссальных расчетов, дало развитие вычислительной техники.

Помимо эффективности сформированного портфеля, вызывает интерес вопрос о степени его неравномерности и адаптационной устойчивости. Адаптационная устойчивость портфеля означает, что проведение реструктуризации такого портфеля приводит к наименьшим изменениям его структурного состава. Исследование характера распределения долей портфеля можно осуществить с помощью диаграмм Лоренца. Введя дополнительные параметры, основанные на характеристиках диаграмм Лоренца, можно исследовать адаптационную устойчивость портфеля. Исследование теории устойчивости в экономике началось относительно недавно, но результаты и её дальнейшее развитие крайне важны для анализа экономических систем и экономики в целом.

Глава 1. Multi-VaR-схема формирования эффективных портфелей

§1.1 Существующие постановки задач формирования эффективных портфелей

Постановка задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности часто основывается на двухкритериальном рассмотрении такого рода задач. Одним из критериев является характеристика эффективности использования ресурсов (этот критерий подлежит максимизации), а вторым критерием является мера неопределенности эффективного распределения ресурсов (этот критерий подлежит минимизации). Методами, основанными на рассмотрении двух критериев, в частности, являются схема Марковица и VaR-схема. Как уже было отмечено выше, исторически первой среди такого рода схем была схема Марковица.

Пусть имеется объектов инвестирования, для каждого объекта существует характеристика эффективности вложения инвестиций в i-ый объект ( . Величины и, как следствие, вектор имеют случайный характер. Сформируем вектор , который состоит из – доля вложения инвестиций в i-ый объект. Такой вектор называется портфелем. Эффективность портфеля определяется равенством и тем самым является случайной величиной.

В рамках схемы Марковица рассматривается следующая задача:

, (1.1)

где X – множество ограничений на x, – дисперсия и математическое ожидание эффективности портфеля, соответственно. Матрица - ковариационная матрица случайного вектора , а – математическое ожидание этого вектора.

Множество ограничений X может содержать как естественные ограничения, вытекающие из смысла вектора долей ( ), так и дополнительные, например, групповые ограничения, которые носят в основном линейный характер.

Существуют эффективные методы решения этой задачи, в том числе реализованные в пакетах математических программ.

В рамках данной работы для проведения сравнительного анализа задача эффективного распределения ресурсов в условиях неопределенности по схеме Марковица была решена с помощью перехода к двойственной задаче и применением обобщенной итерационной процедуры Некрасова.

VaR-схема имеет вид:

, (1.2)

где X - множество ограничений на x, - вероятность выполнения неравенства (т.е. вероятность того, что значение эффективности портфеля примет значение меньше некоторого уровня ).

§1.2 Multi-VaR-схема задачи формирования эффективных портфелей

Однако, очевидно, что все множество задач оптимизации портфеля инвестиций не может ограничиваться только двухкритериальными постановками. Например, посредством объединения критериев входящих в вышеописанные методы можно получить четырехкритериальную задачу оптимизации портфеля инвестиций в условиях неопределенности.

Одним из многокритериальных методов, где число критериев больше либо равно двум, является Multi-VaR-схема. Эта схема оптимизации портфеля инвестиций в условиях неопределенности и является главной целью настоящей работы.

Аналогично уже рассмотренным схемам, предположим, что имеем объектов инвестирования, для каждого объекта имеется эффективность вложения инвестиций ( . Сформируем вектор долей (портфель) Тогда эффективность этого портфеля .

Рассмотрим множество и - множество вероятностей.

Multi-VaR-схема имеет вид:

, (1.3)

где X – множество ограничений на x, - вероятность выполнения неравенства , (т.е. вероятность того, что значение эффективности портфеля примет значение меньше некоторого уровня , ).

Необходимо отметить, что среди приведенных задач является принципиально отличной от остальных схема Марковица. Тем не менее, решения задачи оптимизации портфеля инвестиций в условиях неопределенности по описанным выше схемам тесно связаны, в частности решение одной задачи может быть найдено, исходя из известного решения другой. Так схема MultiVaR является прямым обобщением VaR-схемы, а при некоторых условиях и определенном подборе параметров будет и обобщением схемы Марковица. При условии нормальности распределения величины, характеризующей эффективность, для любого портфеля решение задачи по схеме VaR будет находиться среди решений, полученных с помощью схемы Марковица.