1.Означення похідної функції, її геометричний, фізичний та економічний зміст.

Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).

Дія знаходження похідної функції називається диференціюванням.

Похідна функції має такий фізичний зміст: похідна функції в заданій точці – швидкість зміни функції в заданій точці.

Похідна функції має такий геометричний зміст: похідна функції в заданій точці є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції в цій точці, тобто дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці.

Економічний зміст похідної розглядається на економічні задачі. Продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції по часу .Витрати виробництва y будемо розглядати як функцію кількості продукції х, що виробляється. Нехай х — приріст продукції, тоді y — приріст витрат виробництва і - середній приріст витрат виробництва продукції на одиницю продукції. Похідна у' = — виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції. Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а лише змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний доход, граничний продукт, гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини.

2. Звязок між диференційованістю та неперервністю функції

Доведемо теорему, яка встановлює зв'язок між дифференцируемость і безперервністю функції.

Якщо функція у = f (х) диференційована в довільній точці x0, то вона неперервна в цій точці.

Доказ. Нехай функція у = f (х) диференційована в довільній точці x0, тобто має в цій точці похідну (x0). Запишемо приріст функції Ау точці x0:

Δ у = (x0) Δx + Δ х , де → 0 при Δ х → 0 .

Нехай тепер Δ х → 0. Тоді, очевидно, і Δ у → 0. Але це і означає, що функція у = (х) неперервна в точці х0. Теорема доведена.

Твердження, зворотне цієї теореми, невірне: з безперервності функції в даній точці не випливає її диференційовної в цій точці. Існують функції, безперервні в деякій точці, але не мають в цій точці похідної.