6. Метод функций ляпунова для автономных систем

Рассмотрим некоторые вещественные однозначные, непрерывные вместе с производными в области

(13)

функции , причем .

Определение 9. Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной) в области (13), если во всех точках области она принимает значения только одного знака (нулевое значение она может принимать не только в начале координат).

Определение 10. Функция называется знакоопределенной (определенно-положительной) в области (13) , если во всех точках области, кроме начала координат, она принимает значения строго только одного знака (больше нуля).

Примеры: функция знакопостоянная положительная, так как она обращается в нуль не только в начале координат, но и на прямой .

Функция в пространстве трех переменных является знакоположительной: она равна нулю не только в начале координат, но и на прямой . В пространстве же двух переменных эта функция является определенно-положительной.

Геометрическая интерпретация знакоопределенных функций

Поверхности уровня знакоопределенной функции по крайней мере для достаточно малых С замкнуты. Действительно, рассмотрим такую поверхность. Для определенности предположим, что положительно-определенная функция (С - положительное число). При С=0 будем иметь , откуда , т.е. поверхность вырождается в точку. Пусть l – точный нижний предел функции на границе области (13). Очевидно l >0. Если рассмотрим произвольную непрерывную кривую, выходящую из начала координат к границе области (13) и проследим за изменением функции вдоль этой кривой, то получим, что в начале кривой , а в конце . Следовательно , в некоторой точке этой кривой необходимо принимает значение С , если только С<l , так как предполагается, что функция Ляпунова непрерывна и определена во всех точках области (13). Значит, поверхности для С<l будут замкнуты и окружают начало координат.

Если взять поверхности , , ... , , причем , то поверхности расположатся следующим образом.

Производной по времени от функции Ляпунова в силу уравнений возмущенного движения (12) называется выражение

(14)

Такая производная характеризует изменение функции V вдоль траектории уравнений возмущенного движения.

В основе исследования устойчивости методом функций Ляпунова лежат следующие теоремы [5, 6, 7].

1. Теорема Ляпунова об устойчивости: если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного с знака, то невозмущенное движение устойчиво.

Замечание. Если в качестве функции Ляпунова взять полную энергию системы, то из этой теоремы легко установить справедливость теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия: положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если для него потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум.

2. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости: если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного с знака, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

3. Т еорема Барбашина - Красовского об асимптотической устойчивости: если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти определенно-положительную функцию такую, что ее производная в силу этих уравнений удовлетворяет в области (13) условию: знакоотрицательна, причем многообразие К точек, для которых , не содержит целых траекторий системы, кроме начала координат при , то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

К

Замечание об устойчивости регулируемых систем. Во многих технических задачах важно, чтобы невозмущенное движение было асимптотически устойчивым и чтобы эта устойчивость имела место при любых начальных возмущениях (асимптотически устойчиво в целом). При этом дело сведется к построению функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям следующих теорем Барбашина - Красовского об устойчивости в целом.

Теорема 1. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти определенно-положительную функцию Ляпунова, полная производная по времени которой, составленная в силу этих уравнений, есть при всех функция определенно-отрицательная и если при этом , то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в целом.

Теорема 2. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти такую определенно-положительную функцию, что она удовлетворяет условию и производная которой в силу этих уравнений, знакоотрицательна, причем многообразие точек, для которых , не содержит целых траекторий системы, кроме начала координат при , то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в целом.