Тема 4: Средние величины

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Средняя отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время игнорирует различие отдельных единиц.

Основные условия научного использования средних

1. Признак, по которому рассчитывается средняя должен быть существенным.

2. Качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя.

3. Достаточно большая численность совокупности.

4. Правильно выбран вид и форма средней.

Степенные средние

На величину средних степенных оказывают влияние все значения признака. Определяются из всей совокупности значений.

Общая формула расчет степенных средних:

- простых

- взвешенных , где

- индивидуальные значения признака (варианты),

- число значений признака,

- частота,

- показатель степени.

Формулы расчета основных степенных средних

Значение	Вид средней	Формула средней
		простая	взвешенная
-1	Гармоническая		= Где - объем явления,
0	Геометрическая
1	Арифметическая
2	Квадратическая
3	Кубическая

Практическое использование основных видов степенных средних

Средняя арифметическая простая.

=

Применяется, когда каждое значение признака повторяется один раз, либо равное число раз, а объем признака равен сумме вариант.

Средняя арифметическая взвешенная.

=

Применяется, когда значения признаков Xi повторяются неравное число раз, т.е. представлены частотами f_i., а объем признака равен сумме произведений вариант на соответствующие частоты.

Средняя гармоническая взвешенная

=

Применяется, когда имеются данные о объеме явления по каждой единице.

Средняя геометрическая простая

Применяется, когда значения признака взаимосвязаны между собой, а объем признака равен произведению вариант.

Структурные средние

Это значения, зависящие от характера ряда частот, т.е. от структуры распределения. На их величину не оказывают влияния крайние значения признака. К ним относятся:

1. Мода – это значение которое имеет наибольшую частоту в ряду распределения.

В интервальном ряду может быть определена по формуле (метод интерполяции):

,

где Х₀ – начало модального интервала (модальным является интервал с наибольшей частотой),

h – величина интервала,

f_мо (f_мо-1, f_мо+1) - частота модального (домодального, послемодального) интервалов.

Графически значение моды определяется по гистограмме. При построении гистограммы на оси О_х откладывают границы интервалов, на оси О_у частоты.

2. Медиана, это значение, расположенное в середине ряда распределения и делит его на две равные части, в интервальном ряду может быть определена по формуле (метод интерполяции):

,

где Х₀ – начало медианного интервала (медианным является интервал, в который входит значение под номером ),

N –численность совокупности (в данном примере численность работников в выборке),

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

f_ме – частота медианного интервала.

Графически значение медианы определяется по кумуляте. При построении кумуляты на оси О_х откладывают значение признака, на оси О_у накопленные частоты.

На условном примере покажем графическое определение моды и медианы:

3. Аналогично медиане вычисляют значения признака, которые делят все единицы распределения на равные численности – которые называются квантилями или градиентами. К ним относятся:

-квартили (К): делят ряд в соотношении к четырем (1/4, 2/4, 3/4),

-квинтили (Q): делят ряд в соотношении к пяти (1/5, 2/5, 3/5, 4/5),

-децили(D): делят ряд в соотношении к десяти (1/10,2/10,….., 9/10),

-процентели(P): делят ряд в соотношении к ста (1/1002/100,….., 99/100).

Например, первый квартиль определяется: ,

где Х₀ – начало первого квартильного интервала (первым квартильным интервалом будет интервал, куда входит значение под номером ).

последний (третий) квартиль определяется:

где Х₀ – начало третьего квартильного интервала (первым квартильным интервалом будет интервал, куда входит значение под номером ).