16 білет

1 Питання Тверде тіло як система матеріальних точок. Центр мас

Переходячи від механіки матеріальної точки до механіки твердого тіла, ми по суті переходимо до тих задач, де треба враховувати форму і розміри тіла. У цьому розділі для спрощення розглядатимемо абсолютно тверде тіло, тобто таке, яке під дією прикладених до нього сил зовсім не деформується. У такому тілі взаємне положення частин його залишається незмінним. Зрозуміло, що всі реальні тіла під дією зовнішніх сил деформуються, але в багатьох задачах цим можна знехтувати.

Задачі, в яких деформації твердих тіл мають істотне значення, виділяють в окремий розділ.

Тверде тіло розглядатимемо як певну систему матеріальних точок. Знаючи основні закони руху матеріальної точки, спробуємо знайти деякі загальні характеристики для руху твердого тіла в цілому.

Що ж треба розуміти під рухом твердого тіла в цілому, якщо уявляти його як систему матеріальних точок? Під рухом твердого тіла в цілому розуміють рух центра його маси (центра інерції).

Основне рівняння динаміки обертального руху. Момент інерції

Тверде тіло з нерухомою віссю обертання під дією сил, результуючий момент яких відносно осі не дорівнює нулю, приводитиметься в обертальний рух з певним кутовим прискоренням. Знайдемо залежність між результуючим моментом сил і кутовим прискоренням обертального руху тіла.

Уявляючи тіло як систему матеріальних точок, розглянемо одну з них – з масою m_i, що лежить на відстані від осі обертання і перебуває під дією сили . Маємо на увазі, що сила – тангенціальна, бо тільки така сила може впливати на обертання.

Застосувавши до розглядуваної точки другий закон механіки F_i=m_ia_i (1) і ввівши замість тангенціального прискорення кутове, однакове для всіх точок тіла, матимемо:

F_i=m_ir_i (2), де  – кутове прискорення. Оскільки в динаміці обертального руху істотну роль відіграє момент діючої сили, то для введення його помножимо вираз сили (2) на плече г: M_i=m_ir_i² (3), де М_і –момент сили F_і відносно осі обертання ОО'.

Записавши такі залежності для всіх матеріальних точок, на які поділено тіло, і взявши їх суму, дістанемо де – результуючий момент обертаючих сил;  – кутове прискорення, однакове для всіх точок, можна винести за знак суми (4)

Вираз (4) є основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла. Він аналогічний рівнянню динаміки поступального (прямолінійного) руху F=ma, тільки для обертального руху сила замінюється моментом сили, лінійне прискорення –кутовим, а маса як міра інертності – величиною Останню називають моментом інерції тіла відносно осі обертання і позначають буквою I: (5) де – добуток маси і-ї точки на квадрат відстані від осі обертання є моментом інерції матеріальної точки.

Момент інерції є мірою інертності тіла в обертальному русі. Це скалярна величина; в СІ момент інерції виражають у кг • м².

Остаточно основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла записують у такому вигляді: (6)

При сталому моменті інерції тіла кутове прискорення прямо пропорційне результуючому моменту діючих сил. Якщо результуючий момент дорівнює нулю, то кутове прискорення також дорівнює нулю, отже, тіло перебуває в стані спокою або рівномірного обертального руху.