Раздел 1. Линейная и векторная алгебры Глава 1. Матрицы

Матрицей А называется таблица чисел. Если матрица состоит из m строк и n столбцов, то говорят, что размерность матрицы есть m на n. Количество элементов в такой матрице равно произведению m n. Обозначение матрицы

(1.1)

или сокращенно A=(a_ij)_{m n}. Числа a_ij, составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс указывает номер строки, второй - номер столбца.

Матрица называется прямоугольной, если m n, Если m=n, то матрица называется квадратной и число n - порядком матрицы. Матрица, содержащая один столбец, называется матрица-столбец. Матрица, состоящая из одной строки - матрица-строка. У таких матриц элементы могут иметь только один номер.

; (1.2)

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Для квадратной матрицы порядка n (число строк равно числу столбцов и равно n) A=(а_ij)_n,n, элементы a₁₁, a₂₂, ..., a_nn с одинаковыми индексами образуют главную диагональ. Элементы a_{1 n}, a_{2 n-1}, ..., a_{n 1} образуют побочную диагональ. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю: a_ij=0 при i j. Диагональная матрица обозначается так

. (1.3)

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны, единице называется единичной и обозначается

(1.4)

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю:

, . (1.5)

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое детерминантом или определителем, который обозначается символами detA или (A) или a_ij.

Для матрицы определитель находится по формуле: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали

det(A) = = a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a_21. (1.6)

Для матрицы определитель находится по формуле

det(A) = = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂ a₃₁ –

- a₁₂ a₂₁ a₃₃ - a₁₁a₂₃ a_32. (1.7)

Пример. Вычислить определитель матрицы .

Решение:

Определитель единичной матрицы равен единице det I = 1.

Минором M_ik называется определитель меньшего порядка (размера), полученный при вычеркивании i-той строки и k-того столбца.

Алгебраическим дополнением A_ik называется минор, знак которого определяется по правилу A_ik = (-1)^i+k M_ik.

Определитель можно представить в виде суммы произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения, например

, (1.8)

где

, ,……. .

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если det A0, и вырожденной (особенной), если det A=0. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

. (1.9)

Действия над матрицами

Равенство матриц. Две матрицы A=(a_ij)_m,n и B=(b_ij)_k,q называются равными, если они одинаковы по размеру (m=k, n=q) и их соответствующие элементы равны (a_ij = b_ij).

Сложение матриц. Складывать можно лишь матрицы одинакового размера. Суммой двух матриц A=(a_ij)_m,n и B=(b_ij)_m,n называется матрица C=(c_ij)_m,n того же размера, причем элементы матрицы C равны сумме соответствующих элементов матриц A и B, т.е.

C = A+B, если c_ij = a_ij + b_ij. (1.10)

Пример.

.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A=(a_ik)_m,n на число  называется матрица C=(c_ij)_m,n, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы A умножением на число :

C =  A, где c_ij = a_ij. (1.11)

Пример.

.

Операции сложения матриц и умножения число называются линейными операциями. Эти операции обладают следующими свойствами:

A + B = B + A (перестановочный закон);

(A + B) + C = A + (B + C) (сочетательный закон);

(+)A=A+A (распределительный закон);

(A + B) = A + B;

A + (-A) = 0

A + 0 = A,

где A, B, C, 0 матрицы одного размера, ,  - числа.

Замечание. Пусть A, B - квадратные матрицы порядка n > 1. Линейные операции над матрицами не переносятся на их определители, т.е. det(A+B)  detA + detB, det(ּA)  ּdetA, но det(A)=ⁿ ּdetA.

Произведение матриц. Произведение матриц A_mkּB_kn = C_kn определено только в том случае, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица С имеет размер mּn. Элементы матрицы С определяются по формуле

(1.12)

Умножение матриц производится по правилу "строка на столбец".

Произведение матриц не перестановочно, в общем случае AּB BּA.

Пример. Найти произведения матриц A = и B = .

Поскольку это квадратные матрицы одного размера, то умножение таких матриц возможно, причем существует и АВ и ВА. В соответствии с (2.2) имеем:

Свойства операции умножение матриц:

1. Aּ (BּC) = (AּB) ּС;

2. ּ (AּB) = (ּA) ּB = Aּ (ּB);

3. (A+B) ּC = AּC + BּC;

4. Cּ (A+B) = CּA + CּB,

где  - число, A, B, C матрицы, для которых произведения cуществуют;

5. если A, B - квадратные матрицы одного порядка, то

det (AּB) = detA ּ detB.

Транспонирование матриц. Рассмотрим произвольную матрицу

.

Матрица полученная из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к A.

Например, если A = , то A^t = .

Свойства операции транспонирования матриц

1. (A^t)^t = A;

2. (A + B)^t= A^t+ B^t;

3. (ּA)^t= A^t:

4) (AּB)^t = B^tּA^t,

(AּB)^t = B^tּA^t, где A и B - матрицы, - число;

5) Если A- квадратная матрица, то detA=detA^t.