- •Передмова
- •1. Комплексні числа та дії над ними
- •1.1. Поняття комплексного числа
- •1.2. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі
- •1.3. Геометрична інтерпретація. Модуль і аргумент комплексного числа
- •1.4. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа
- •1.5. Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах
- •1.6. Многочлени. Розкладання на множники. Розв’язання квадратних рівнянь
- •2.2. Область та її межа
- •2.3. Комплексні функції дійсної змінної. Лінії на комплексній площині
- •2.4. Диференціювання та інтегрування комплексної функції дійсної змінної
- •3.2. Похідна. Умови Коші – Рімана
- •3.3. Поняття аналітичної функції. Зв’язок аналітичних функцій з гармонічними
- •3.4. Геометричний зміст модуля й аргументу похідної. Поняття про конформне відображення
- •4. Деякі елементарні функції комплексної змінної та їх властивості
- •4.1. Лінійна функція
- •4.2. Степенева і коренева функції
- •4.3. Показникова функція
- •4.4. Тригонометричні та гіперболічні функції
- •Допоміжні формули Ейлера
- •4.5. Логарифмічна функція
- •5. Інтеграл функції комплексної змінної
- •5.1. Поняття комплексного інтеграла
- •5.2. Первісна функції комплексної змінної. Інтегральна теорема Коші
- •5.3. Інтегральна формула Коші та її наслідки
- •6. Ряди функцій комплексної змінної
- •6.1. Основні поняття про ряди з комплексними членами
- •6.2. Степеневі ряди. Ряд Тейлора
- •6.3. Ряд Лорана
- •6.4. Ізольовані особливі точки та їх класифікація
- •7. Лишки та їх застосування
- •7.1. Поняття лишку. Основна теорема про лишки
- •7.2. Обчислення інтегралів за допомогою лишків
- •7.3. Функції від матриці та їх обчислення за допомогою лишків
- •7.4. Логарифмічна похідна та її лишки. Принцип аргументу
- •8. Фазові криві диференціальних рівнянь
- •8.1. Лінійне однорідне диференціальне рівняння зі сталим комплексним коефіцієнтом і його розв’язок
- •8.2. Фазові криві лінійного однорідного диференціального рівняння
- •9. Плоске векторне поле. Комплексний потенціал
- •9.1. Спеціальні плоскі векторні поля. Комплексний потенціал
- •9.2. Елементарні точкові особливості векторного поля
- •10. Запитання для самоконтролю
- •11. Індивідуальні завдання для самостійної роботи
- •Рекомендована література
6.4. Ізольовані особливі точки та їх класифікація
Точка називається ізольованою особливою точкою функції , якщо дана функція аналітична в деякому околі цієї точки, за винятком самої точки (в проколотому околі).
Класифікація ізольованих особливих точок здійснюється за характером розвинення функції в ряд Лорана
;
в (проколотому) околі особливої точки . При цьому можливі три випадки:
а) Головна частина ряду Лорана відсутня (в ряді не має членів з від’ємними степенями різниці ), тобто
.
Тоді називається усувною особливою точкою.
При цьому , тобто в усувній особливій точці функція має скінченну границю.
Якщо доозначити функцію в точці рівністю , то функція стане аналітичною в точці , а відповідний ряд буде рядом Тейлора для функції . Оскільки , то в околі усувної особливої точки функція обмежена.
б) Головна частина ряду Лорана членів, тобто
.
Тоді називається полюсом -го порядку. Полюс першого порядку також називають простим полюсом.
Ясно, що коли точка – полюс -го порядку функції , то для функції ця точка є усувною особливою. Тоді . Тому
,
тобто в полюсі функція має нескінченну границю. Порядком полюса служить найбільше натуральне значення , при якому існує скінченна границя .
Якщо точка – полюс -го порядку функції , то для функції ця точка служить -кратним коренем. Справедливе також обернене твердження.
в) Головна частина ряду Лорана має нескінченну кількість членів, тобто
.
Тоді називається істотно особливою точкою.
В істотно особливій точці функція не має границі ні скінченної, ні нескінченної. У залежності від вибору шляху прямування точки до точки функція буде мати різні границі.
Нескінченно віддалена точка. Особлива точка називається ізольованою особливою точкою, якщо функція аналітична в круговому кільці (зовні кола ) – в проколотому околі нескінченно віддаленої точки . Функція в околі нескінченно віддаленої точки розвивається в ряд Лорана за степенями :
.
(зміст і назви частин ряду протилежні тим, що мають місце для ряду Лорана з центром у скінченній точці).
Ізольована особлива точка називається: а) усувною особливою точкою, якщо ряд Лорана не містить додатних степенів ; б) полюсом -го порядку, якщо найбільша додатна степінь в ряді Лорана дорівнює ; в) істотно особливою точкою, якщо ряд Лорана має нескінченну кількість додатних членів.
Наприклад, для функції точка – полюс -го порядку, а для функції точка – істотно особлива.
Приклад. Знайти всі особливі точки функції та визначити їх характер:
.
Розв’язання. Знайдемо точки, де функція не визначена: , , , , , . Дослідимо поведінку функції в околі кожної з цих точок.
:
;
– усувна особлива точка.
: ;
; – полюс другого порядку.
: ;
;
– простий полюс.
: ;
;
– простий полюс.
: – не
існує, оскільки не існує ;
– істотно особлива точка.
: – не
існує, оскільки не існує ;
– істотно особлива точка.
Зауваження. Особливі точки можуть бути неізольованими. Наприклад, функція має полюси . Тому в довільному околі особливої точки є інші особливі точки. Початок координат є точкою згущення полюсів цієї функції.