Дискретна математика
Основні поняття теорії множин. Операції над множинами.
§1. Множини
а) Означення множини. Операції над множинами
Під множиною
розуміють довільну сукупність об'єктів,
які називають елементами цієї множини.
Позначаються множини зазвичай великими
буквами алфавітів, а елементи множин -
малими буквами того ж алфавіту. Символічний
запис а є А
означає, що
а є
елементом множини А,
або а
належить
множині А.
Заперечення
цього факту позначається а
А. Якщо
множина задається переліченням її
елементів, то вони записуються в фігурних
дужках. Наприклад, А = {1,3,9} - множина
степенів трійки, що знаходяться в першій
десятці натуральних чисел. Для означення
множини А
часто
використовують якусь властивість,
притаманну тільки елементам із А.
Наприклад,
[п є Z│n
> 0}=
N - множина
натуральних чисел.
Кажуть, що множина
В -
підмножина
множини А
(В міститься
в А), якщо
кожен елемент множини В
є елементом
множини А.
Позначають
В
А. Символічний
запис:
В
A
↔[
х
Є В => х
Є А ].
Порожня множина
Ø,
яка зовсім не містить елементів, за
означенням входить до числа підмножин
довільної множини. Для довільної множини
А сама
множина А і
порожня множина називаються невласними
підмножинами. Всі решта підмножини
називають власними.
Так, множина із двох елементів А
= {a,b}
має чотири
підмножини: невласні - {a,b}
і Ø, власні
- {а},{b}.
Дві множини А та В співпадають (або рівні), якщо у них одні і ті ж елементи. Символічний запис:
А - В ↔ [( х Є А => х Є В) ^ ( х Є В=> х Є А)] або А = В ↔А В ^ В А.
Об'єднанням двох множин А та В називають множину, яка складається із
всіх елементів, що належать хоча б одній із цих множин. Символічний запис:
A
B
= {x\x
Є A
v
х Є
В}.
Перегином двох множин А та В називають множину, яка складається із всіх
елементів, що належать як одній, так і другій множині. Символічний запис:
А
В =
{ x\x
Є A
^ х Є В}.
Різницею двох множин А та В називається множина, яка складається із всіх елементів, що належать першій із них і не належать другій. Символічний запис:
А\В = {х\х Є А ^ х Є В}.
Якщо В А, то різниця множин А\В називається доповненням множини В до множини А. Позначають доповнення В до А через С^ В (С - перша буква французького слова "complement"- доповнення).
Об'єднання різниць А\В та В\А називають симетричною різницею.
Символічний запис: А ∆ В = {( х\х Є А ^ х Є В) v (х\х Є В ^ х Є А){ або А ∆ В = A\B B\ A .
Інколи множину, підмножини якої розглядаються в деякій задачі, називають універсальною для цієї задачі. Доповнення її підмножини А до універсальної множини U називають просто доповненням і позначають А .
Наочну картину про найпростіші властивості множин дає схематичне зображення множин у вигляді фігур на площині, зокрема, кіл. Такі схеми названі діаграмами Ейлера-Венна. Універсальну множину зручно при ньому зображати прямокутником.
