ПРОХОЖДЕНИЕ УПРАВЛЯВЛЯЮЩИХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА

Краткие сведения из теории и методика решения задач

Отклик линейной цепи на подаваемое на эту цепь воздействие зависит от характеристик действующего сигнала и характеристик самой цепи. При использовании для определения отклика спектрального метода должны быть известны спектральная плотность сигнала и частотная характеристика цепи . Тогда спектральная плотность отклика находится с помощью выражения

(3.1)

Но обычно интересуются временной зависимостью отклика и бывает известна также временная зависимость воздействия . В этом случае, для решения задачи спектральным методом целесообразно применить более универсальный математический аппарат преобразования Лапласа. Последовательность действий при решении задачи при этом такова.

Сначала по известной функции x(t) находят ее изображение по Лапласу

(3.2)

При этом входное воздействие часто представляют в виде суммы двух или большего числа слагаемых (например, единичных скачков, линейно изменяющихся функций и т.д.), если функция X(p) для них записывается заметно проще. Как в этом случае трансформируется схема решения, можно увидеть из приводимого ниже примера решения задачи.

Затем путем анализа операторной схемы цепи (индуктивность заменена элементом с операторным сопротивлением pL, емкость - 1/рС, активное сопротивление - R) находят ее передаточную операторную функцию К(p), обычно имеющую вид отношения двух полиномов.

Далее перемножая функции X (р) и К (р) по аналогии с (3.1), находят Y(p) - изображение по Лапласу от искомой функции y(t)

(3.3)

и обычно преобразуют ее к виду, когда в числителе и знаменателе Y(p) стоят полиномы по неотрицательным степеням переменной р ,то есть

(3.4)

Наконец, на последнем этапе переходят от изображения Y(p) к оригиналу у(t)

(3.5)

Для определения изображения Х(p) известной функции x(t) и поиска оригинала y(t) по изображению Y(p) можно использовать таблицы преобразования Лапласа. Кроме того, операция (3.5) может быть осуществлена и с помощью теоремы разложения.

Если функция Y(p)) имеет вид отношения полиномов (3.4), то y(t) можно найти по формуле

(3.6)

где p_k- корни полинома знаменателя, - производная полинома знаменателя.

Если знаменатель имеет кратные корни, например p₁ кратностью m₁, р₂ кратностью m₂ и т.д., то для нахождения y(t) следует применить выражение

(3.7)

Полученный результат, как правило, иллюстрируют графиком.

Пример решения задачи

3 .1. На вход цепи, изображенной на рис.3.1. подается прямоугольный импульс амплитудой Е и длительностью τ Определить отклик цепи на это воздействие.

Построить качественно график фун­кции y (t).

Решение. Представим входное воздействие х (t) в виде наложения двух скачков напряжения разной полярности, смещенных во времени на τ (рис.3.2).

Найдем вначале отклик цепи y₁(t) на воздействие x₁(t).

Передаточная функция цепи К (р) в данном случае имеет вид

Поэтому

Знаменатель Y₁(p) имеет один корень - . Производная полинома знаменателя .

Применяя 3.6, находим:

Отклик цепи на воздействие x₂(t) будет иметь отрицательную полярность и запаздывать на время τ . Поэтому

В целом отклик цепи на воздействие прямоугольного импульса будет определяться выражением

График этой функции представлен на рис.3.3

Для проверки правильности полученного результата следует вернуться к меню, а затем обратиться к программе проверки для данной темы.