2.2 Свойства атомных ядер

Массовое число А – общее количество нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре. В любых ядерных превращениях (кроме образова­ния античастиц) число нуклонов не меняется (закон сохранения барионного заряда).

Заряд атомного ядра – Z – определяется количеством протонов в ядре, которое совпадает с порядковым номером элемента в таблице Менделеева. Закон Мозли связывает частоту характеристического рентгеновского излучения ν с зарядом Z:

. (2.10)

Применение закона Мозли в 1920-ых годах показало, что клетки 43 и 61 в таблице Менделеева свободны (нет стабильных изотопов).

Число нейтронов в ядре N = A – Z.

Классификация атомных ядер по А, Z и N.

Ядро с определенным набором А, Z и N – нуклид, (например: , и т.д.).

Различают следующие группы нуклидов:

• нуклиды, имеющие одинаковое число протонов, т.е. нуклиды одного и того же элемента называют изотопами (например: , , );

• нуклиды, имеющие одинаковое число нуклонов – изобары ( – – );

• нуклиды, имеющие одинаковое число протонов и нуклонов и отличающиеся только энергией связи ядра, называют изомерами.

Радиоактивными нуклидами (радионуклидами) называют те из них, ядра которых претерпевают самопроизвольные превращения.

Зеркальные ядра – изобары, у которых Z₁ = N₂ и Z₂ = N₁ (например, , ).

2.3 Масса ядра и энергия связи

Масса ядра М_я близка к А. Для определения масс ядер используются:

а) масс-спектрометрия;

б) энергетический анализ ядерных реакций;

в) баланс альфа-распада;

г) баланс бета-распада;

д) микроволновая радиоспектроскопия.

Масса атомного ядра наряду с зарядом является одной из важнейших его характеристик. Знание масс атомных ядер представляет особый интерес для идентификации новых ядер, понимания их структуры и предсказания характеристики распада: времени жизни ядра, каналов распада и др. Как было показано ранее, в ядерной физике масса ядер и атомов измеряется в атомных единицах массы (а.е.м.).

Согласно соотношению Эйнштейна, каждому значению массы покоя М, выраженной в килограммах, соответствует энергия покоя Мс² , выраженная в Джоулях, где с = 3∙10⁸ м/сек – скорость света в вакууме. Следовательно:

1 а.е.м. → 1,66∙10^–27 ∙ 9∙10¹⁶ ≈ 1,49∙10^–10 Дж.

Как ранее было отмечено, в ядерной физике энергию часто измеряют не в Джоулях или эргах, а в электронвольтах. Учитывая соотношение между электронвольтом и Джоулем, получим: 1 а.е.м. = 931,5 МэВ; а массе покоя электрона (9,109∙10^–31 кг) соответствует энергия 0,511 МэВ.

Точные измерения масс нуклонов и атомных ядер показали, что масса ядра отличается от суммы масс свободных нейтронов и протонов, входящих в состав ядра. Эта разность масс получила название дефекта масс (m).

. (2.11)

Дефект масс связан с энергией связи ядра простым соотношением:

. (2.12)

Энергия связи, отнесенная к массовому числу А, называется средней энергией связи нуклонов в ядре: .

Зависимость удельной энергии связи ядра от А представлена на рисунках 2.1а и 2.1б.

Величина удельной энергии связи для большинства ядер лежит в пределах 6-8 МэВ. Впервые описание свойств атомных ядер было дано Вайцзеккером на основе капельной модели ядра. В рамках данной модели ядра удалось объяснить многие свойства атомных ядер и получить полуэмпирическую формулу для энергии связи атомных ядер (формула Вайцзеккера), которая позволила понять некоторые закономерности различных каналов распадов и деления ядер, а также оценивать массы и энергии связи новых ядер. Полуэмпирическая формула Вайцзеккера для энергий связи ядер имеет следующий вид:

, (2.13)

где a₁ = 15,75 МэВ, a₂ = 17,8 МэВ, a₃ = 0,71 МэВ, a₄ = 23,7 МэВ, a₅ = –34 МэВ – для нечетно-нечетных ядер (нечетные N и Z); 0 МэВ – для четно-нечетных и нечетно-четных ядер; +34 МэВ – для четно-четных ядер (четные N и Z).

При этом:

• – учитывает примерное постоянство удельной энергии связи ядра, т.е. отражает свойство насыщения ядерных сил,

• – описывает поверхностную энергию и учитывает более слабую связь поверхностных нуклонов в ядре,

• – описывает уменьшение энергии связи ядра, обусловленное кулоновским взаимодействием протонов,

• – учитывает свойство зарядовой независимости ядерных сил и действие принципа Паули,

• – учитывает эффекты спаривания.

Константы а_1–5, входящие в формулу Вайцзеккера, соответствуют наилучшему описанию экспериментальных данных (рис. 2.1а).

Рис. 2.1а. Зависимость удельной энергии связи от массового числа A.

(Плавная кривая – результат вычислений по формуле Вайцзеккера)

Рис. 2.1б. Зависимость удельной энергии связи от массового числа A.

Анализ кривой, представленной на рисунке 2.1а, и уравнения Вайцзеккера позволяют сделать ряд выводов относительно свойств ядер и ядерных сил.

1. Из положительного значения AЕ_св и ε для всех ядер (т.е. из факта существования ядер) следует, что ядерные силы имеют характер притяжения, которое с избытком компенсирует кулоновское расталкивание протонов между собой.

Из рисунка 2.1а видно, что величина удельной энергии связи для большинства ядер лежит в пределах 6-8 МэВ/нуклон (член в уравнении Вайцзеккера), из чего следует чрезвычайно большая интенсивность ядерного взаимодействия. Так, например, удельная энергия связи нуклона в ядре (ε ≈ 7 Мэв) существенно больше энергии кулоновского отталкивания двух протонов (U_кул ≈ 0,7 МэВ). Интенсивность сильного взаимодействия превосходит интенсивность электромагнитного взаимодействия (при сравнении их на расстояниях порядка 10^-13 см) в 10²-10³ раз.

Максимум кривой (≈8,8 МэВ/нуклон) приходится на ядра с массовыми числами от 50 до 60, т.е. на ядра элементов середины периодической таблицы Д.И. Менделеева, которые считаются наиболее стабильными ядрами.

Поскольку для большинства ядер энергия связи на один нуклон составляет величину примерно равную 8 МэВ, то связь между энергией связи и массовым числом можно выразить простым соотношением: ∆Е_св ≈ А ≈ 8 МэВ. Между тем, a₁ = 15,75 МэВ, т.е. примерно в 2 раза больше. Это означает, что примерно половина энергии сильного взаимодействия компенсируется за счет других эффектов.

Так как удельная энергия связи с увеличением массового числа остается практически постоянной, то можно говорить о таком свойстве ядерных сил как насыщение. Это свойство заключается в том, что каждый нуклид в ядре взаимодействует не со всеми, а только с несколькими нуклонами, т.е. ядерные силы носят короткодействующий характер. Свойство насыщения приводит к приблизительному постоянству плотности ядерного вещества, вследствие чего ядро напоминает несжимаемую каплю жидкости (капельная модель ядра). Расчет плотности ядра приводит к величине примерно 1,8·10¹⁷ кг/м³.

2. Уменьшение ε с ростом А связано с поверхностными эффектами. В частности, нуклоны у поверхности ядра не полностью насыщают свои связи, что приводит к уменьшению общей энергии связи на величину пропорциональную числу нуклонов в поверхностном слое, т.е. пропорциональную А^2/3 (член – в уравнении Вайцзеккера). Роль поверхностных эффектов возрастает при переходе к легким ядрам.

3. Уменьшение ε с ростом А, связанное с кулоновским отталкиванием протонов, также учитывается в уравнении Вайцзеккера , из которого следует, что влияние электростатического отталкивания тем значительнее, чем тяжелее ядро (чем больше заряд ядра). Отсюда для наиболее тяжелых ядер более вероятен процесс деления, а для наиболее легких – процесс слияния (рис. 2.2).

Оба процесса сопровождаются выделением большой энергии в форме кинетической энергии частиц – продуктов реакции.

4. Равенство ядерных сил для любой пары нуклонов, называемое зарядовой независимостью и квантово-механический принцип тождественности одинаковых частиц и необходимость ассиметризации Ψ – функции системы двух нуклонов приводит к тому, что энергия взаимодействия нейтрона с протоном в среднем больше энергии взаимодействия пары одинаковых нуклонов. Отсюда, возникающая в результате неравенства чисел нейтронов и протонов так называемая энергия симметрии дает отрицательный вклад в энергию связи, пропорциональный .

Рис. 2.2. Зависимость удельной энергии связи ядра от массового числа А.

5. Изучение зависимости удельной энергии связи от числа нейтронов и протонов позволило обнаружить явление спаривания нуклонов. В частности, было установлено, что наибольшей устойчивостью отличаются ядра с четным числом протонов и четным числом нейтронов (четно-четные ядра). Меньшей устойчивостью обладают четно-нечетные ядра, т.е. ядра с нечетным массовым числом А. Наименьшей устойчивостью обладают нечетно-нечетные ядра.

Количественно эффект спаривания учитывается введением поправок. Так, a₅ = +34 МэВ – для четно-четных ядер; 0 МэВ – для четно-нечетных и нечетно-четных ядер; –34 МэВ – для нечетно-нечетных ядер.

Дифференцированием уравнения Вайцзеккера по Z при постоянном А и приравниванием производной к нулю было получено уравнение, позволяющее по известному А вычислить заряд стабильного ядра-изобара:

. (2.14)

Было показано, что если А нечетно и в формуле Вайцзеккера равна нулю, то каждому значению А отвечает только одно значение Z₀, соответствующее наиболее устойчивому ядру (см. рис. 4.7). Для четного значения А данная функция будет двузначной: одна зависимость М = f(Z) будет характерна для четно-четных ядер, другая – для нечетно-нечетных, т.е. вместо одной параболы будем иметь две, расположенные одна над другой (см. рис. 4.8).

Область расположения стабильных ядер обычно называют долиной стабильности. На рисунке 2.3 показана N-Z диаграмма атомных ядер. Черными точками показаны стабильные ядра. С левой стороны от стабильных ядер находятся ядра, перегруженные протонами (протон избыточные ядра), справа ядра, перегруженные нейтронами (нейтрон избыточные ядра). Линия B_p = 0 (B_p – энергия отделения протонов) ограничивает область существования атомных ядер слева (proton drip-line). Линия B_n = 0 (B_n – энергия отделения нейтронов) ограничивает область существования атомных ядер справа (neutron drop-line). Вне этих границ атомные ядра существовать не могут.

Сравнение средней энергии связи на нуклон для различных ядер с соотношением в них и анализ рисунка позволили дополнить выводы, сделанные ранее при анализе уравнения Вайцзеккера:

1. Неустойчивость ядер связана с неравновесным значением соотношения в этих ядрах. При этом следует отметить, что с увеличением Z более стабильными становятся ядра с относительно большим числом нейтронов.

2. Четно-нечетные ядра характеризуются большей устойчивостью.

Интересно, что распространенность элементов с четным Z приблизительно в 10 раз выше, чем с нечетным.

Вместе с тем, капельная модель и формула Вайцзеккера не учитывают некоторые специфические детали структуры атомных ядер. Так, например, в экспериментальных исследованиях была выявлена периодичность в изменении индивидуальных характеристик основных и возбужденных состояний атомных ядер (таких, как энергия связи, магнитные моменты, четности, некоторые особенности α- и β-распадов, размещение ядер-изомеров среди остальных ядер и др.), которая в рамках капельной модели не может быть описана, так как в основу модели положено однородное распределение нуклонов в фазовом пространстве, т.е. не учитывается оболочечная структура ядра. На самом деле оболочечная структура приводит к неоднородности распределения нуклонов в ядре.

Рис. 2.3 N-Z диаграмма атомных ядер.

Отклонение энергии связи ядер от гладкой кривой, предсказываемой капельной моделью, явилось первым прямым указанием на оболочечную структуру ядра. Различие в энергиях связи между четными и нечетными ядрами указывает на наличие сил спаривания в атомных ядрах. Отклонение от «гладкого» поведения величин энергий отделения двух нуклонов в ядрах между заполненными оболочками служит указанием на деформацию атомных ядер в основном состоянии.

Сравнение экспериментально измеренных масс атомных ядер с результатами расчетов по формуле Вайцзеккера показывает, что наблюдаются систематические различия между экспериментальными данными и результатами теоретических расчетов, обусловленные оболочечной структурой атомных ядер. В частности, при сравнении ε для всех четно-четных ядер было отмечено, что ядра, содержащие одно из чисел протонов Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 114 и (или) нейтронов: N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, характеризуются более высокими значениями средней энергии связи на один нуклон.

Эти числа, да и сами ядра были названы магическими. Наиболее устойчивые ядра, у которых магическими являются и Z и N, называются дважды магическими (⁴He, ¹⁶O, ⁴⁰Ca, ⁴⁸Ca, ²⁰⁸Pb являются стабильными). Особая устойчивость магических ядер объясняется оболочечной моделью ядра. Согласно данной модели нуклоны движутся в ядре в поле, создаваемом окружающими нуклонами и обладающем в нулевом приближении сферической симметрией. Нуклоны в ядре последовательно заполняют энергетические уровни, начиная с самого нижнего. Уровни группируются в оболочки. Согласно принципу Паули на каждой оболочке может находиться не более определенного количества (магическое число) нуклонов данного вида. На ядрах с заполненными оболочками происходит резкое увеличение энергий отделения нуклонов, что характеризует повышенную устойчивость магических ядер. Следует отметить, что особая устойчивость ядер, содержащих магическое число нуклонов, совпадает с их повышенной распространенностью в природе. Так, например, процентное содержание изотопа кальция-40 в естественной смеси изотопов кальция составляет 97 %; при этом ядро является дважды магическим ядром. Более того, предшествующее ядро с Z = N ( ) составляет 0,3 % в природной смеси аргона, а следующее ядро ( ) в природе вообще не встречается. Особенно устойчивы дважды магические ядра , , , . Еще одна иллюстрация изменения свойств ядер вблизи магических чисел приведена на рис. 2.4.

Следует отметить, что и оболочечная модель ядра имеет ряд недостатков, и она, как и капельная модель, может быть использована лишь в ограниченных пределах.

Наряду с рассмотренным выше существует и другой (упрощенный) подход к объяснению устойчивости и неустойчивости ядер. При этом кроме энергии связи ядра относительно всех его

Рис. 2.4. Относительная распространенность различных четно-четных ядер

с A > 50.

нуклонов ввели в рассмотрение энергию связи ядра относительно каких-либо других составных частей. Оказалось, что в некоторых случаях энергия связи ядра, рассчитанная по отношению к каким-либо составным частям, становится малой, а нередко и отрицательной.

Так, например, энергия связи ⁹Be относительно всех 9 нуклонов приблизительно равна 58 МэВ, тогда как энергия связи данного ядра по отношению к его распаду на 2 ядра гелия и нейтрон равна всего 2 МэВ.

Другой пример: ядро ²³⁸U имеет большую энергию связи относительно всех его нуклонов, тогда как средняя энергия связи ядра урана относительно гелия и ²³⁴Th получается отрицательной: ‑4,25 МэВ. Это означает, что ядро урана является неустойчивой системой по отношению к его распаду на альфа-частицу и ядро ²³⁴Th. Расчеты показывают, что ядра урана неустойчивы не только по отношению к испусканию альфа-частицы, но и по отношению к делению на два примерно равных осколка. Отрицательная величина энергии связи ядра урана относительно его деления на торий и альфа-частицу указывает на то, что при альфа-распаде ядер урана‑238 выделяется энергия. Аналогичные примеры можно привести и для случаев нейтронного и протонного распадов.

Что касается β-распада, то главной его особенностью является то, что он обусловлен не ядерными или электромагнитными силами, а происходит он под действием слабых сил, поэтому протекает значительно более медленно. Так, самый короткий период полураспада для β-радиоактивных ядер составляет примерно 10^–2 с, что более чем в 10²¹ раз больше ядерного времени. Следует также отметить β-распад процесс не внутриядерный, а внутринуклонный, что будет показано ниже.