Лабораторная работа 5.

Оглавление

1. Вычисление конечных сумм и произведений 2

2. Использование рекуррентных соотношений 2

3. Вычисление бесконечных сумм с заданной точностью 3

4. Задания. Вычисление сумм и произведений 4

5. Задания. Использование рекуррентных формул 5

6. Задания. Вычисление бесконечных сумм 9

7. Практикум 13

1. Вычисление конечных сумм и произведений

Вычисление конечных сумм и произведений - это наиболее часто встречающийся тип элементарных задач (см. также лабораторную работу 1). Пусть требуется вычислить сумму вида

Для вычисления суммы можно применить следующий алгоритм:

//Инициализация переменных. Подготовительные вычисления

. . .

s=0;

for(int k=1; k<=n; k++)

{

//Вычислить текущий член суммы ak

…

s+=ak;

}

Если при вычислении текущего слагаемого a_k (внутри цикла) выполняются операции, не зависящие от k, эти вычисления целесообразно вынести из цикла for() и выполнить их один раз перед циклом. Например, пусть требуется вычислить сумму вида

Соответствующий код может быть следующим:

//Инициализация переменных. Подготовительные вычисления

double ak=0, sx=Math.Sin(Math.PI*x);

s=0;

for(int k=1; k<=n; k++)

{

//Вычислить текущий член суммы ak

ak=sx/(k*k);

s+=ak;

}

2. Использование рекуррентных соотношений

Вернемся к задаче из лабораторной работы 1. Пусть требуется вычислить сумму вида

Здесь вычисление текущего члена суммы можно значительно упростить (и уменьшить количество операций), если для вычисления текущего слагаемого построить и использовать рекуррентную формулу вида

Такую формулу можно получить следующим образом. Выпишем сначала выражения для к-го и к+1-го слагаемого

Поделив к+1-е слагаемое на к-е слагаемое, получим рекуррентную формулу

Причем при k=0 имеем

алгоритм вычисления суммы с использованием рекуррентной формулы можно записать в виде

//Инициализация переменных. Подготовительные вычисления

//Предполагается, что значения переменных x и n определены ранее

//ak первоначально полагаем равным a₀

double ak=x, dx=x*x;

S=ak;

for(int k=1; k<=n; k++)

{

//Вычислить текущий член суммы ak, используя рекуррентную формулу

ak*=-dx/(2*k+2)/(2*k+3);

S+=ak;

}

3. Вычисление бесконечных сумм с заданной точностью

Пусть теперь требуется вычислить сумму вида

с заданной точностью >0 (некоторое малое число). Под этим подразумевается, что очередные слагаемые a_k нужно добавлять к текущему значению s(x), пока они достаточно большие по модулю, т.е. удовлетворяют условию

|a_k|>

Поскольку в этом случае число слагаемых заранее неизвестно, для суммирования можно использовать циклы типа while() или do-while(). Предыдущий алгоритм суммирования модифицируется следующим образом

//Инициализация переменных. Подготовительные вычисления

//Предполагается, что значения переменных x, n и точность eps

//определены ранее

//ak первоначально полагаем равным a₀

double ak=x, dx=x*x;

int k=0;

S=0;

While(Math.Abs(ak)>eps)

{

S+=ak;

//Вычислить следующий член суммы ak, используя рекуррентную формулу

k++;

ak*=-dx/(2*k+2)/(2*k+3);

}

4. Задания. Вычисление сумм и произведений

1. Дано натуральное число nmax и вещественное число b. Найти, если оно существует, такое наименьшее n, меньшее nmax, что:

Если сумма nmax членов гармонического ряда меньше b, то необходимо выдать соответствующее сообщение.

2. Дано натуральное число n. Вычислить сумму первых n членов ряда:

При суммировании исключается каждый третий член.

3. Дано натуральное число n. Вычислить сумму первых 2n членов ряда:

Вычислить эту сумму четырьмя разными способами: последовательно слева направо, последовательно справа налево, слева направо, вычисляя вначале положительные члены ряда, затем отрицательные, справа налево, вычисляя вначале положительные члены ряда, затем отрицательные. Сравните результаты вычислений. Чем объясняется различие в последних цифрах при больших n? Как влияет на результат использование типов float или double для переменных, задающих суммы и текущий член при суммировании?

4. Дано натуральное число n. Вычислить сумму первых 2n членов ряда:

5. Дано натуральное число n. Вычислить произведение первых n членов ряда:

6. Даны натуральные числа n и k (n>=k). Вычислить биномиальный коэффициент :

7. Даны натуральные числа n и m (n>=m). Вычислить сумму биномиальных коэффициентов:

Следует напомнить, что определения функций суммы и произведения предполагают:

8. Даны натуральные числа n и m, вещественное x. Вычислить:

9. Даны натуральные числа n и m, вещественное x. Вычислить: