Непараметрический критерий Манна-Уитни

Назначение критерия

U — критерий Манна-Уитни предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, измеренного начиная со шкалы порядка (не ниже). Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n₁, n₂  3 или n₁ = 2, n₂  5, и является более мощным, чем критерий Розенбаума.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами упорядоченных значений. При этом 1-м рядом (выборкой группой) называется тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом — тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют различиями в расположении двух выборок.

Расчетное (эмпирическое) значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U_эмп. , тем более вероятно, что различия достоверны.

Ограничения критерия

1. Признак должен быть измерен по ординальной, интервальной или пропорциональной шкале.

2. Выборки должны быть независимыми.

3. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: n₁, n₂  3; допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.

4. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений: n₁, n₂  60. Однако уже при n₁, n₂  20 ранжирование становится достаточно трудоемким.

Алгоритм подсчета критерия Манна-Уитни.

1. Для расчета критерия необходимо мысленно все значения 1-й выборки и 2-й выборки объединить в одну общую объединенную выборку и упорядочить их.

Все расчеты удобно производить в таблице (таблица 30), состоящей из 4-х столбцов. В эту таблицу заносятся упорядоченные значения объединенной выборки.

При этом:

1. значения объединенной выборки упорядочиваются по нарастанию значений;

2. значения каждой из выборок записываются в свой столбик: значения 1-й выборки записываются в столбик № 2, значения 2-й выборки записываются в столбик № 3;

3. каждое значение записывается на отдельной строчке;

4. общее число строк в этой таблице равно N=n₁+n₂ , где n₁ — число испытуемых в 1-й выборке, n₂ — число испытуемых во 2-й выборке

Таблица 30

R1	x	y	R2
1	2	3	4
9	25
7,5	21
		21	7,5
6	20
		17	5
		15	3
3	15
3	15
		13	1
	…..	…..
	…..	…..
∑=28,5	…..	…..	∑=16,5

2. Значения объединенной выборки ранжируются согласно правилам ранжирования, причем в столбике № 1 записываются ранги R₁ соответствующие значениям 1-й выборки, в столбике № 4 — ранги R₂, соответствующие значениям 2-й выборки,

3. Подсчитывается сумма рангов отдельно по столбику № 1 (для выборки 1) и отдельно по столбику № 4 (для выборки 2). Обязательно проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной суммой рангов для объединенной выборки.

4. Определить бόльшую из двух ранговых сумм. Обозначим ее как Т_х.

5. Определить расчетное значение критерия U по формуле:

где n₁ — количество испытуемых в выборке 1,

n₂ — количество испытуемых в выборке 2,

T_x — бόльшая из двух ранговых сумм,

n_x — количество испытуемых в выборке с бόльшей суммой рангов.

6. Правило вывода: Определить критические значения U по таблице критических значений для критерия Манна-Уитни.

Если U_эмп.  U_{кр. 0,05} , различия между выборками статистически незначимы.

Если U_эмп.  U_{кр. 0,05} , различия между выборками статистически достоверны.

Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Контрольные вопросы:

1. Назовите условия применения критерия Стьюдента.

2. Какие параметры распределений признаков необходимо знать для того, чтобы рассчитать критерий Стьюдента?

3. Сформулируйте правило принятия решения по результатам расчетов критерия Стьюдента.

4. Почему при расчете критерия Стьюдента необходимо параллельно оценивать и изменчивость признаков в выборках?

5. Каким образом можно сравнить две дисперсии?

6. В каких случаях в правило вывода критерия Стьюдента необходимо вводить поправку Снедекора?

7. Назовите условия применения критерия Розенбуама.

8. Сформулируйте правило принятия решения по результатам расчетов критерия Розенбаума.

9. Перечислите условия применения критерия Манна-Уитни.

10. Что такое общая объединенная выборка при расчете критерия Манна-Уитни.

11. Сформулируйте правило принятия решения по результатам расчетов критерия Манна-Уитни.

Самостоятельное практическое задание:

Самостоятельно изучите по учебникам критерии Крускала-Уоллиса и тенденций Джонкира. Составьте конспект по схеме аналогичной той, которая использовалась в лекциях.

Материалы для изучения темы:

а) основная литература:

1. Ермолаев О. Ю. Математическая статистика для психологов. — М., 2008. — Стр. 101-124; 169-172.

2. Кутейников А.Н. Математические методы в психологии. – СПб, 2008. — Стр. 81-93.

3. Наследов А. Д. Математические методы психологического исследования: Анализ и интерпретация данных. — СПб., 2007. — Стр. 162-167; 173-176; 181-182.

4. Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. — СПб., 2004. — Стр. 39-72.

б) дополнительная литература:

1. Гласс Дж., Стенли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. — М., 1976. — Стр. 265-280.

2. Суходольский Г. В. Основы математической статистики для психологов. — СПб., 1998. — Стр. 305-323.