- •Т1. Элементарная теория погрешностей. §1. Источники и классификация погрешностей.
- •§2. Точные и приближенные числа. П1. Десятичная запись и округление чисел.
- •П2. Абсолютная и относительная погрешности.
- •П3. Верные значащие цифры. Связь между числом верных знаков и погрешностью числа.
- •П4. Погрешности вычислений с приближенными данными.
- •Т2. Методы решения нелинейных уравнений. §1. Постановка задачи.
- •§2. Отделение корней уравнения.
- •§3. Графическое решение уравнений.
- •§4. Уточнения корня уравнения.
- •П1. Метод половинного деления.
- •П.2. Метод хорд.
- •П.3. Метод Ньютона (метод касательных).
- •П4. Методы хорд и касательных.
- •П5. Метод итераций (метод последовательных приближений).
- •Т3. Методы решения системы двух нелинейных уравнений. §1. Постановка задачи.
- •§2. Метод итераций.
- •§3. Метод Зейделя.
- •§4. Метод Ньютона.
- •Т4. Численные методы решения задач линейной алгебры. §1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау). П1. Постановка задачи.
- •П2. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных).
- •П3. Метод итераций (метод последовательных приближений).
- •П4. Метод Зейделя.
- •П5. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов.
- •Т5. Интерполирование функций. §1. Постановка задачи.
- •§2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •§3. Интерполяционные многочлены Ньютона.
- •П1. Конечные разности.
- •П2. Первая интерполяционная формула Ньютона.
- •П3. Вторая интерполяционная формула Ньютона.
- •П4. Погрешность интерполяционных процессов.
- •§4. Метод наименьших квадратов. П1. Постановка задачи.
- •П2. Критерий согласия.
- •Т6. Численное решение Определенного интеграла. П1. Приближенное вычисление определенного интеграла.
- •П2. Формула Прямоугольников.
- •П3. Формула трапеций.
- •П4. Формула парабол (Симпсона)
§2. Метод итераций.
Для применения этого метода требуется привести систему (1) к равносильному виду:
(2),
где функции и определены и непрерывны в окрестности изолированного решения .
Вычислим значения функций и и примем их за первое приближение искомого решения, т.е. :
Затем находим:
и т.д.
(3).
Если < ,то процесс завершен и есть приближенное значение искомого решения .
Система (1) должна быть преобразована к виду (2), т.е., чтобы выполнялось условие сходимости.
Теорема (о достаточном условии сходимости метода итераций).
Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одна, и только одна пара корней системы (2). Если:
1) функции и определены и непрерывно дифференцируемы в ,
2) начальное приближение и все последующие
приближения …, принадлежат .
3) в выполнены неравенства:
(4),
то процесс последовательных приближений сходится к корням системы (2).
Замечание. Теорема считается верной, если условие (4) заменить на :
.
§3. Метод Зейделя.
Метод Зейделя предназначен для решения систем, записанных в виде (2). Этот метод является модификацией метода итераций, где после задания начального приближения вместо параллельного итерирования производится последовательное итерирование. Причем на каждой итерации в каждое последующее уравнение подставляются значения неизвестных, полученных из предыдущих уравнений на этой же итерации.
Методика решения задачи та же, что и для метода итераций, за исключением формулы (3):
.
§4. Метод Ньютона.
Пусть задана нелинейная система уравнений:
(1),
и пусть – приближенные корни системы.
Полагаем:
Получим:
(2).
Применим формулу Тейлора и ограничимся линейными членами относительно . Будем иметь:
(3).
Если Якобиан:
то из системы (3) находим:
,
.
Следовательно, можно продолжить:
(4).
Продолжая этот процесс:
,
.
Достаточное условие сходимости: .
Условие окончания итерационного процесса:
Пример.
.
Решение.
; .
,
;
;
;
Таким образом:
Повторяя этот процесс с полученными значениями корней, получим:
Отсюда следует, что:
Ответ:
Т4. Численные методы решения задач линейной алгебры. §1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау). П1. Постановка задачи.
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:
(1),
где – коэффициент системы - неизвестные, - свободные члены.
Сокращенно (в матричном виде) система (1) записывается в виде: А · х = В, где:
,
, .
Решением системы (1) называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая обращает все уравнения системы в верные равенства.
Систему линейных уравнений называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной (противоречивой), если она не имеет решений.
Совместная система называется определенной, если она имеет однородное решение, и неопределенной, если более одного решения. Две системы линейных уравнений называют эквивалентными (равносильными), если каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот.
Матрица:
называется расширенной. Система (1) имеет единственное решение, если и имеет большое множество решений, если . Если матрица А квадратная и , то она называется невырожденной. Система линейных уравнений с невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение.
Такие системы можно решать по формулам Крамера:
, ,
или с помощью обратной матрицы: .
Однако при больших значениях n эти методы не применяются, т.к. уже при n = 100, время необходимое для решения на ЭВМ примерно 3·10 лет, если одно слагаемое вычисляется за 10 секунд. Фактически же в настоящее время с использованием подходящих методов решаются системы порядка до n 10 .
Что же это за методы? Их множество. В целом они разделяются на две группы: прямые и итерационные.
Прямые методы (конечные) позволяют теоретически (в предположении, что вычисления проводятся без ошибок округления) получить точные решения системы (1). К прямым методам относятся: метод Крамера, метод Гаусса и его модификации. Прямые методы применяются, как правило, с числами порядка не выше 10 .
Итерационные методы (методы последовательных приближений) позволяют вычислять последовательность векторов , сходящуюся при к решению задачи (2). К итерационным методам относятся: метод простых итераций, метод Зейделя, метод релаксаций, градиентные методы и их модификации. На практике итерационные методы применяются с числом порядка 10 .