- •Т1. Элементарная теория погрешностей. §1. Источники и классификация погрешностей.
- •§2. Точные и приближенные числа. П1. Десятичная запись и округление чисел.
- •П2. Абсолютная и относительная погрешности.
- •П3. Верные значащие цифры. Связь между числом верных знаков и погрешностью числа.
- •П4. Погрешности вычислений с приближенными данными.
- •Т2. Методы решения нелинейных уравнений. §1. Постановка задачи.
- •§2. Отделение корней уравнения.
- •§3. Графическое решение уравнений.
- •§4. Уточнения корня уравнения.
- •П1. Метод половинного деления.
- •П.2. Метод хорд.
- •П.3. Метод Ньютона (метод касательных).
- •П4. Методы хорд и касательных.
- •П5. Метод итераций (метод последовательных приближений).
- •Т3. Методы решения системы двух нелинейных уравнений. §1. Постановка задачи.
- •§2. Метод итераций.
- •§3. Метод Зейделя.
- •§4. Метод Ньютона.
- •Т4. Численные методы решения задач линейной алгебры. §1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау). П1. Постановка задачи.
- •П2. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных).
- •П3. Метод итераций (метод последовательных приближений).
- •П4. Метод Зейделя.
- •П5. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов.
- •Т5. Интерполирование функций. §1. Постановка задачи.
- •§2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •§3. Интерполяционные многочлены Ньютона.
- •П1. Конечные разности.
- •П2. Первая интерполяционная формула Ньютона.
- •П3. Вторая интерполяционная формула Ньютона.
- •П4. Погрешность интерполяционных процессов.
- •§4. Метод наименьших квадратов. П1. Постановка задачи.
- •П2. Критерий согласия.
- •Т6. Численное решение Определенного интеграла. П1. Приближенное вычисление определенного интеграла.
- •П2. Формула Прямоугольников.
- •П3. Формула трапеций.
- •П4. Формула парабол (Симпсона)
П3. Вторая интерполяционная формула Ньютона.
Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную формулу становиться не выгодно.
В этом случае интерполяционный многочлен ищется в виде:
Pn(x)=a0 + a1(x – xn) + a2(x – xn)( x – xn-1) + … + an(x – xn)( x – xn-1)…( x – x1) (5)
Как и для первой формулы Ньютона, коэффициенты a1, a2, … an находятся из условия Pn(xi)=yi, т.е.
-h
x = xn, yn = Pn(xn) = a0
x = xn-1, yn-1 = Pn(xn-1) = a0 + a1(xn-1 – xn)
yn-1 = yn – a1h => a1 = и т.д.
ak = (6)
Подставляя (6) в (5) и переходя к переменной t = , получим окончательный вид второй интерполяционной формулы Ньютона:
Pn(x)= (x)=yn + t∆yn-1 + ∆2yn-2 + … + ∆ny0 (7)
Частные случаи:
n = 1, P1(x) = y0 + t∆y0 – формула линейного интерполирования.
n = 2, P2(x) = y0 + t∆y0 + ∆2y0 – формула квадратичного интерполирования.
Замечание: если таблица значений функции y=f(x) конечна, то число n ограниченно, а именно: n не может быть больше значений функции y, уменьшенного на единицу.
Пример:
Составить интерполяционные многочлены и вычислить значения функции в точках x = 0,63 и x = 1,35.
x |
y |
∆y |
∆2y |
∆3y |
∆4y |
0,50 |
1,732 |
0,548 |
0,172 |
0,056 |
0,016 |
0,75 |
2,280 |
0,720 |
0,228 |
0,072 |
|
1,00 |
3,000 |
0,948 |
0,300 |
|
|
1,25 |
3,948 |
1,248 |
|
|
|
1,50 |
5,196 |
|
|
|
|
Т.к. x = 0,63 расположена в начале таблицы, а x = 1,35 в конце, то применим вначале первый интерполяционный многочлен Ньютона, а затем второй.
P4(x) = y0 + t∆y0 + ∆2y0 + ∆3y0 + ∆4y0
x0 = 0,50, t = = = 0,52
P4(0,63) = 1,732 + 0,52*0,548 + *0,172 = *
*0,056 + *0.016 = 1,732 + 0,28496 – 0,0214656 +
+ 0,003447 – 0,00061 ≈ 1,99833
P4(x) = y4 + t∆y3 + ∆2y2 + ∆3y1 + ∆4y0
Xn = 1,50, x = 1,35
t = = = –0,6
P4(1,35) = 5,196 + 1,248(–0,6) + *0,3 + *0,072 +
+ *0,016 = 5,196 – 0,7488 – 0,036 – 0,004032 –
0,0005376 = 4,4066304
Пример:
Построить многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей. Вычислить значение функции в точке x = 2,5
x |
y |
∆y |
∆2y |
∆3y |
2 |
7 |
-2 |
5 |
-9 |
3 |
5 |
3 |
-4 |
|
4 |
8 |
-1 |
|
|
5 |
7 |
|
|
|
Т.к. x= 2,5 находится ближе к началу таблицы, то построим первый интерполяционный многочлен Ньютона.
P3(x) = y0 (x – x0)+ (x – x0)(x – x1)+ (x – x0)( x – x1)( x – x2)
P3(x) = 7 + (x – 2) + (x – 2)(x – 3) + (x – 2)(x – 3)(x – 4) =
7 – 2x + 4 + (x2 – 5x + 6) – (x3 – 9x2 + 24) = – x3 + 16x2 – x + 62
P3(2,5) = – *2,53 + 16*2,52 – *2,5 + 62 = 4,8125