4.3.2. Расчет на жесткость

Рассмотрим продольную деформацию стержня, изображенного на рис. 3.11. Для этого выделим из стержня бесконечно малый элемент дли­ной d z. Штриховыми линиями он показан в деформированном состоянии: длина элемента увеличилась, а размеры поперечного сечения уменьши­лись. Приращение длины элемента обозначим Δ(d z). Отношение прираще­ния (изменения) длины элемента к его первоначальной длине называется относительным удлинением или продольной деформацией:

ε_пр= Δ(d z). / dz (3.15)

Это безразмерная величина. В некоторых случаях ее выражают в %. При растяжении продольную деформацию считают положительной, а при сжатии — отрицательной.

Отношение изменения размера по­перечного сечения Δа к его первоначаль­ному значению, называют относитель­ным поперечным сужением (расширени­ем) или поперечной деформацией:

ε_п= Δа / а (3.16)

При растяжении поперечные раз­меры бруса уменьшаются и ε _п по при­нятому правилу знаков - величина отри­цательная.

Продольную и поперечную дефор­мацию называют также линейными де­формациями (общее наименование). Опытным путем установлено, что при простом растяжении или сжатии отношение поперечной деформации к продольной - величина постоянная для данного материала. Это отношение, взятое по абсолютному зна­чению, называется коэффициентом поперечной деформации или коэффи­циентом Пуассона : μ=ε _п / ε_пр

Значения коэффициента Пуассона для различных материалов нахо­дятся в пределах от 0 (для пробки) до 0,5 (для каучука). Для большинства металлов и сплавов его значение колеблется в сравнительно узких преде­лах: от 0,23 до 0,35 (в среднем примерно 0,3).

Определим изменение длины (удлинение или укорочение) бруса. Из выражения продольной деформации имеем Δ(d z) = ε_пр ■ dz - изменение длины бесконечно малого элемента, а из выражения закона Гука при ли­нейной деформации

ε _пр= σ/ Е и Δ(dz) =ε_np* dZ = εdz/ E.

Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса σ= N / A получаем:

(3-18)

Δ (d z)= N*dz / EA

Для определения изменения длины Δl всего бруса (или участка бру­са) следует просуммировать значения Δ(dz) по всей длине.

4.4. Кручение стержня круглого сечения

4.4.1 Напряжения и деформации при кручении

Зная, что при кручении происходит деформация сдвига, естественно считать, что в точках поперечного сечения бруса возникают только касательные напряжения τ, перпен­дикулярные радиусу, соединяющему эти точки с осью кручения. Точка С (рис. 58) поперечного сечения бруса до деформации, лежащая на некото­рой образующей ЕС, проведенной внутри на расстоянии р от его оси, под действием момента т, смещается и положение ЕС1. Сдвиг СС1 характеризуется углом у, поэтому можно записать:

СС1 =l*tgγ.

Однако, в силу незначительности деформаций можно записать, что γ = tg γ, тогда

СС1=lγ.

С другой стороны, дугу СС\ можно выразить как центральную дугу, соответствующую углу поворота φ, т.е.

СС, = рφ.

Приравнивая оба значения дуги ССХ получим

l γ = рφ,

откуда γ = рφ / l, т.е.

угол сдвига в поперечном сечении прямо пропорционален расстоянию от оси кручения.

При р = г угол сдвига принимает максимальное значение и имеет вид γ max = rφ / l

4.5. Изгиб

Основные понятия. Поперечная сила и изгибающий момент

При изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются относительно друг друга вокруг некоторых осей, лежащих в их плоскостях. На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали и элементы конструк­ций.

На практике встречаются поперечный (прямой), косой и чистый виды изгиба.

Поперечным (прямым) (рис. а) называется изгиб, когда

внешние силы, перпен­дикулярные продольной оси балки, действуют в плоскости, проходящей через ось балки и одну из главных центральных осей ее поперечного сечения.

Косой изгиб (рис., б) это изгиб, когда силы действуют в плоскости, проходящей через ось балки, но не про­ходящей ни через одну из главных центральных осей ее поперечного сечения.

В поперечных сечениях балок при изгибе возникают два вида внут­ренних сил - изгибающий момент М„ и поперечная сила Q. В частном случае, когда поперечная сила равна нулю, а возникает только изгибающий момент, то имеет место чистый изгиб (рис. в). Чистый изгиб возникает при нагружении распределенной нагрузкой или при некоторых нагружениях со­средоточенными силами, например, балка, нагруженная двумя симметрич­ными равными силами.

При изучении деформации изгиба мысленно представляется, что балка состоит из бесконечного количества волокон, параллельных продольной оси. При чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений: волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются, лежащие на вогнутой стороне — сжи­маются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон (продольная ось), которые только искривляются, не изменяя своей длины; продольные волокна балки не оказывают друг на друга давления и, следова­тельно, испытывают только растяжение и сжатие.

Внутренние силовые факторы в сечениях балок - поперечная сила Q и изгибающий момент Ми (рис. 62) зависят от внешних сил и изменяются по длине балки. Законы изменения поперечных сил и изгибающих моментов представляются некоторыми уравнениями, в которых аргументами

являются координаты z поперечных сечений балок, а функциями - Q и Ми. Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений.

Поперечная сила Q есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки. Следует иметь в виду, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики.

Изгибающий момент Ми есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечения балки. Изгибающий момент также, как и поперечная сила имеет разное направление для левой и правой части балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знаков изгибающего момента.

Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа от сечения, видно, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент Ми и поперечная сила Q. Таким образом, в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соот­ветствующие поперечной силе.

Для наглядного изображения распределения вдоль оси балки попереч­ных сил Q и изгибающих моментов Ми удобно представлять их в виде эпюр, ординаты которых для любых значений абсциссы z дают соответствующие значения Q и Ми. Эпюры строятся аналогично построению эпюр продольных сил (см. 4.4) и крутящих моментов (см. 4.6.1.).

Так как для установления знаков поперечных сил и изгибающих мо­ментов правила знаков статики неприемлемы, установим для них другие правила знаков, а именно, если внешние силы (рис. а), лежащие по левую сторону от сече­ния, стремятся приподнять левую часть балки или, лежащие по правую сто­рону от сечения, опустить правую часть балки, то поперечная сила Q

положительна;

- если внешние силы (рис. 63, б), ле­жащие по левую сторону от сечения, стремятся опустить левую часть балки или, лежащие по правую сторону от сечения, приподнять правую часть балки, то поперечная сила Q отрицательна;

- если внешняя нагрузка (сила и момент) (рис. 64, а), расположенная слева от сечения, дает момент, направленный по ходу часовой стрелки или, расположенная справа от сечения, направленный против хода часовой стрел­ки, то изгибающий момент М_и считается положительным;

Правило знаков для изгибающих моментов связано с характером деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз (растя­нутые волокна расположены внизу). Изгибающий момент считается отри­цательным, если балка изгибается выпуклостью вверх (растянутые волок­на расположены вверху).

Пользуясь правилами знаков, следует максимально представлять себе сечение балки жестко защемленным, а связи — отброшенными и заме­ненными их реакциями. Для определения реакций пользуются правилами знаков статики.