- •2. Дифференцируемость и аналитичность
- •3. Элементарные функции комплексной переменной
- •Операционное исчисление Содержание:
- •1. Функция оригинал и изображение по Лапласу
- •2. Теоремы преобразования Лапласа
- •3. Методы определения оригинала по известному изображению
- •4. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
- •5. Примеры решения задач
- •5.1 Пример выполнения задания 1
- •5.2. Рекомендация к выполнению задания 2
- •5.4 Пример выполнения задания 4
- •6. Вопросы и задачи для самостоятельной работы
1. Функции комплексной переменной. Непрерывность. Области и границы
Если х и у - действительные переменные, - мнимая единица, то переменная называется комплексной переменной. Действительную и мнимую части комплексной переменной Z обозначают .
Если каждому значению Z из множества Z поставить в соответствие одно или несколько значений другой комплексной переменной то комплексная переменная W называется функцией Z в области Z, и пишут
Функция называется однозначной, если каждому значению , ставится в соответствие только одно значение W, и многозначной, если несколько значений W.
Если - действительная часть функции W, - мнимая часть функции W, то функция записывается в виде суммы действительной и мнимой части.
(1.1)
Однозначная функция при имеет определенный предел с (z0 и с – комплексные числа), если для всякого найдется такое число , что из неравенства следует неравенство . При этом пишут
Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности и в самой этой точке и
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области D, называется непрерывной в этой области.
Для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы функции были непрерывными в точке
Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию
РЕШЕНИЕ. Запишем функцию в виде (1).
Отсюда следует, что функции и непрерывны на плоскости значит данная функция W также непрерывна на всей комплексной плоскости Z.
Область D - это множество точек, обладающих свойством открытости (вместе с точкой области D принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке) и свойством связности (две любые точки D можно соединить ломаной, полностью лежащей в D).
Замкнутой областью D называют область D с присоединенной к ней границей Г.
Область D называют ограниченной, если она принадлежит некоторому кругу
Порядком связности ограниченной области D называется число связных частей, на которые разбивается её граница. Граница может состоять из замкнутых линий, разрезов и точек.
Границы области могут задаваться уравнениями кривых, которые рассмотрим на примере. Пример 2. Определить виды кривых:
a)
РЕШЕНИЕ
- уравнение окружности с центром в точке и радиусом R.
РЕШЕНИЕ Это уравнение равносильно уравнению.
РЕШЕНИЕ
В данном случае действительная и мнимая части комплексного переменного заданы параметрически. Исключим параметр t из уравнений
,
2. Дифференцируемость и аналитичность
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Z. Функция дифференцируема в точке Z, если существует предел.
Этот предел называется производной функции в точке Z. Функция дифференцируемая в каждой точке области D и имеющая в этой области непрерывную производную называется аналитической в области D.
Функция аналитическая в точке, если является аналитической в некоторой окрестности точки Z0.
Для того чтобы функция была аналитической в области D, необходимо и достаточно одновременное существование в этой области непрерывных частных производных функций удовлетворяющим условиям Коши-Римана:
(1.2)
При выполнении условий (2) производная может быть вычислена по одной из формул
(1.3)
Для аналитических функций правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций комплексной переменной такие же, как для функций действительной переменной, что иллюстрирует следующий пример. Пример 3, Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции является дифференцируемой и аналитической на всей комплексной плоскости Z:
Таким образом,
3. Элементарные функции комплексной переменной
1. Функции комплексной переменной определяются как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного переменного:
(1.4)
(1.5) (1.6) (1.7)
(1.8)
Из определения функций (10.4)-(10.8) следуют формулы, связывающие их:
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Элементарные функции (1.4) – (1.8) являются однозначными и непрерывными на всей комплексной области Z.
2. Показательная функция совпадает с обычной функцией для нее справедлива теорема сложения
Функция периодическая с чисто мнимым основным периодом
Тригонометрические функции для действительных совпадает с обычным синусом и косинусом, периодичны с действительным периодом - нечетная, - четная функция; подчиняются обычным тригонометрическим соотношениям:
и т.п.
Функция называется гиперболическим синусом; функция называется гиперболическим конусом. Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции формулами (1.15,1.16).
С помощью функций (1.4) - (1.8) вводятся другие элементарные функции. 3 Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной:
если:
Для нее справедливо свойство логарифмов:
(1.17)
В формуле (1.17) символ может обозначать любое значение аргумента, поэтому каждое комплексное число имеет бесчисленное множество логарифмов.
Выражение называется главным значением логарифмической функции и обозначается, как Многозначная логарифмическая функция обозначается
(1.18)
4. Общая показательная функция:
(1.19)
Эта функция представляет собой совокупность отдельных, не связанных между собой однозначных функции, отличающихся множителями где k- целое число. Главное значение этой многозначной функции равно
где - произвольное комплексное число.
Полагая, , получаем
(1.20)
где - произвольное комплексное число.
Полагая , получаем
(1.21)
где k – целое число. При функция всегда имеет бесконечно много значений.
Если , то получаем многозначную функцию - корень n-й степени
При имеем частный случай однозначной степенной функции
К основным элементарным функциям комплексной переменной относится также дробно-рациональная функция и её частные случаи.
Дробно-рациональная функция:
(1.22)
Частные случаи этой функции:
а)линейная функция - комплексные числа
б)степенная функция
в)дробно-линейная функция