3. Кольцо классов вычетов (определение сравнимости двух целых чисел по натуральному модулю; свойства сравнений; классы вычетов; операции на классах вычетов; кольцо классов вычетов).

Сравнения в кольце целых чисел. Пусть m  N, a и b  Z, если m | (a-b) то пишут a  b (mod m) и говорят, что а сравнимо с b по модулю m. Если m не делит (a-b), то a  b (mod m).

Теорема 9:Число a  b (mod m)  когда a и b имееют одинаковые остатки при делении на m.

Док-во:1)Пусть a  b (mod m), b = qm + r, 0  r < m. Т.к. a  b (mod m), то тогда m | (a - b)   к  Z, a – b = кm  a - (mq + r) = km, a = km + qm + r, a = (k + q)m + r, 0  r < m  a имеет остаток r

2)Пусть a и b имееют одинаковые остатки при делении на m, a = mq₁ + r, b = mq₂ + r, 0  r < m

a – b = mq₁ - mq₂ = m(q₁ - q₂)  m | (a-b)  a  b (mod m).

Cвойства сравнений не зависящие от модуля:

Лемма 9: Пусть m  N, a и b  Z, тогда справедливы следующие утверждения:

1) a  a (mod m), a  Z.2) Если a  b (mod m), то b  a (mod m),3)Если a  b (mod m), b  c (mod m), то a  с (mod m).

Лемма 10:Сравнения по одному модулю можно складывать, вычитать и умножать почленно.

Из леммы 9 и леммы 10 получаем следующие свойства:

1) к обеим частям можно прибавлять одно и тоже число.

2) обе части можно умножать на одно и тоже число.

3)слагаемые из одной части можно переносить в другую с противо-ным знаком.

4)к любой части сравнения можно прибавлять число кратное модулю.

5)Можно возводить в натуральную степень.

Cвойства сравнений зависящие от модуля:

Лемма 11:Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и тоже натуральное число.

Док-во: a  b (mod m)  (a - b) = mt, t  N  ak - bk = mkt  mk | (ak - bk)  ak  bk (mod mk)

Лемма 12: Если ak  bk (mod mk), c = НОД(m,k)  a  b (mod m/c)

Кольцо классов вычетов. Пусть m  N, a  Z, тогда a = mq + r, 0  r < m, r  {0, 1, 2, …, m -1}. Обозначим -все целые числа, которые при делении на m дают остаток 0

-все целые числа, которые при делении на m дают остаток 1

-все целые числа, которые при делении на m дают остаток m-1, тогда

Множество всех классов вычетов по модулю m обозначается Z_m

где r – остаток при делении а на m

Теорема 10:

Множество Z_m классов вычетов по модулю m с введенными выше операциями ‘ + ’ и ‘ * ’ является полуаддитивным кольцом с единицей.

Лемма 13:Элемент обладает в Z_m обратным элементом тогда и только тогда, когда числа а и m взаимно просты.

Теорема 11: Кольцо классов вычетов Z_m является полем  когда m – простое число

Лемма 14: Пусть m  N, a  Z. Если a и m взаимно просты и b  a (m), то b и m – взаимно просты.

Теорема 12(Эйлера): Если а и m взаимно просты, то а^(m)  1 (m), где a₁, a₂,…, a_k, k = (m), НОД(a_i,m) = 1.

Следствие (малая теорема Ферма): Если p  P, a не делится на p, то а^{p -1}  1 (p)

Док – во: m = p, тогда а^(p)  1 (p)  а^{p -1}  1 (p)

C помощью теоремы Эйлера в Z_m можно находить обратный элемент. .

Следовательно,

4. Поле комплексных чисел (операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах; формула Муавра; извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме; извлечение корня n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме).

Рас-м мн-во упоряд пар (a,b) a,bR и обозн его через С={(a,b) a,bR}. Две пары (a,b) и(a₁,b₁) будем считать равными если a= a₁ ,b=b₁. Введем операцию сложения на С следующим образом:

(a,b)+(с,d)=(a+c,b+d) (*)

Лемма 1 Алгебраическая система С с операцией сложения является абелевой группой.

Док-во. 1 Т.к. a+c,b+dR, то (a+c,b+d)С следовательно операция (*) определена на С

2 ассоциативность (a,b)+((с,d)+ (e,f))= (a,b)+(с+e,d+f)= (a+(с+e),b+(d+f))= ((a+с)+e,(b+ d)+f)= (a+c,b+d)+(e,f)= ((a,b)+(c,d))+(e,f)

3 (0,0) яиляется нулевым

4  (a,b) С  элемент (-a,-b)С, являющийся противоположным

5 коммутативность

(a,b)+(с,d)=(a+c,b+d)=(с+a,d+b)=(с,d)+(a,b)