1. Математические модели и методы в экономике.

Экономика математическая модель

Экономика математическое моделирование является одним из эффективных методов описания сложных социально экономических объектов и процессов в виде математических моделей. В настоящее время выделяется единство экономики, математики и кибернетики. В составе экономика математических моделей выделяют следующие научные дисциплины. 1. экономическая кибернетика- системный анализ экономики, теории экономической информации и теории управляющих систем.

2. математическая статистика- дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный, факторный, кластерный, теория индексов и другие

3. математическая экономика и эконометрика- теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевого балансы национального счета, анализ спроса и потребления, регрессионный и пространственный анализ, глобальное моделирование.

4. методы принятия оптимальных решений- математическое программирование, сетевые и программно целевые методы планирования и управления, теория массового обслуживания, теория и методы управления запасами, теория игр, теория и методы принятия решений, теория распределений.

5. специфические методы и дисциплины экономики:

А) для централизованного планирования экономики- теория оптимального функционирования экономики, модель материально технического снабжения

Б) для рыночной экономики- модель свободной конкуренции модели монополии, модель теории фирмы, модель индикативного планирования

6. экспериментальные методы изучения экономики- математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, имитационное моделирование деловой игры, методы экспортных оценок.

Классификация ЭММ

ЭММ классифицируется по следующим признакам:

1.по общему целевому назначению:( теоретика аналитические, прикладные)

2. по степени абаригирования объектов (макроэкономические -функционирование экономики как единого целого, микроэкономические- функционирование предприятий и фирм)

3. по конкретному предназначению ( балансовые- требование соответствующего наличие ресурсов и их использование, трендовые- развитие моделирования системы через длительную тенденцию основных показателей, оптимизационные- выбор наилучшего варианта из множества вариантов произвольного распределения и потребления, имитационная- в процессе компонентной имитации изученных систем)

4. по типу информации используемой в модели ( аналитические- на базе априорной информации, индецифицируемые- на базе апастариорной, экспериментальной информации)

5. по учету фактора неопределенности (детерминированные, стохастические)

6. по характеристики математических объектов или аппаратов ( матричные модели, модели линейного и не линейного программирования, корреляционно - регрессионные модели, модели массового обслуживания, модели теории игр, модели сетевого планирования и управления)

7. по типу подхода изучаемой системы ( дескриптивные( описательные) –балансовые и трендовые, нормативные – оптимизационные и модели уровня жизни)

Также выделяют сложно комбинированные ЭММ например ЭММ межотраслевого баланса которая является прикладной макроэкономической, матричной моделью. Различают статистические и динамические модели.

Разновидности ЭММ

Любое техника экономическое исследование всегда предполагает объединения теории

(математической модели) с практикой (экспериментом или статистическими данными). Формализация основных особенностей функционирования техно–социо-экономических объектов позволяет оценить качество и эффективность принимаемых решений по степени использования. Математическая модель объекта это его взаимно однозначное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отображений, графиков. Математические модели используемые в экономике подразделяются по особенности моделируемого объекта макро и микро экономики и по целям моделирования (теоретические, прикладные, оптимизационные и равновесные, непрерывные и стохастические)

2. Оптимизация планов производства.

Задача оптимизации планов производства является моделью линейного программирования. Наиболее часто задачи оптимизации планов производства возникают на уровне агрегированного планирования и оперативного управления микроэкономическими объектами.

Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, которая обеспечит наиболее рациональное использование имеющихся материально финансовых и других ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия (максимальной прибыли или минимальных затрат на производство).

Обозначения: n- количество выпускаемых продуктов, m- количество используемых ресурсов (рабочая сила, сырье, производственная мощность), a_ij- объем затрат i-го ресурса на выпуск единицы j-ой продукции, c_j- прибыль от выпуска и реализации единицы j-го продукта, b_j- количество имеющегося i-го ресурса, x_j- объем выпуска j-го продукта.

Общий вид данной задачи:

(1)-целевая функция, (2)- система ограничений на объем фактически имеющихся ресурсов, (3)- система общих ограничений.

Аналогично задача в стандартной форме на минимум имеет вид:

Вектор (x₁,…,x₂) называется допустимым решением или допустимым планом. Совокупность всех допустимых решений называется множеством допустимых планов. Допустимое решение для (1) достигает max (min) значения называется оптимальным решением задачи. Данной задачи линейного программирования соответствует двойственная задача:

Если исход задачи (1)-(3) имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача (4)-(6) при этом значения целевой функции для соответствующих оптимальных решений равны. Компонента y_i^*-оптимальное решение двойственной задачи (4)-(6) называется двойственной оценкой условия (2). Пусть тогда имеют места следующие соотношения: . Пусть b_i’ min значение правой части основного ограничения (2) при котором решение y^* двойственной задачи не изменяется. Величина b’ называется нижней границей устойчивости по правой части ограничения. Величина b_i” max значение ограничения (2) при котором решение двойственной задачи y^* не изменяется, называется верхней границей устойчивости по правой части ограничения.

c’ min значение коэффициента целевой функции при котором оптимальное решение x^* исходной задачи (1)-(3) не изменяется называется нижней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции, c_j’ max значение коэффициента целевой функции при котором решение x^* исходной задачи (1)-(3) не изменяется называется верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

3. Оптимальное смешение: однопродуктовые модели.

Задача о смесях возникла при выборе наилучшего способа смешивания искомых ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами. Смесь должна иметь требуемые свойства, которые определяются количеством компонентов входящих в состав исходных ингредиентов. Как правило, в таких задачах известны стоимостные характеристики ингредиентов и искомую смесь требуется получить с наименьшими затратами. Для многапродуктовых смесей, в которых требуется получить несколько смесей характерным является критерий максимизации прибыли. Задачи оптимального смешения встречаются во многих отраслях промышленности.

Однопродуктовая модель:

n- количество исходных ингредиентов,m- количество компонентов в смеси, x_j- количество j-го компонента входящего в смесь, a_ij- количество i-го компонентов в j-ом ингредиенте, c_j- стоимость единицы j-го ингредиента, b_i- количество i-го компонента в смеси.

(1)- целевая функция характеризующая минимум затрат на получение смеси.

(2)- группа ограничений определяющих содержание компонентов смеси.

(3)- ограничения на не отрицательность переменных.

В задачах могут присутствовать так же ограничения на общий объем смеси и ограничения на количество используемых ингредиентов. В этом случаи модель формулируется следующим образом:

w- количество условий отражающих содержание j-го ингредиента в смеси, b_i – min допустимый для i-го компонента в смеси, d_rj – коэффициент отражающий r-ое условие на содержание j-го ингредиента в смеси, x_j- количество j- го ингредиента входящего в смесь.

(4)- целевая функция, характеризующая минимум затрат на получение смеси

(5)- группа ограничений определяющих содержание компонентов смеси

(6)- группа ограничений на содержание ингредиентов смеси

(7)- ограничение на количество смеси

(8)- ограничения на не отрицательность переменных

Ограничения (5),(6) отличают задачу оптимального смешивания от задачи оптимального планирования производства. x^*=(x₁,….,x_n) являющейся решением этой задачи называется рецептом приготовления смеси или рецептом смешивания.