1.1.2 Применение метода контурных токов
Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на (n-1).
Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока – контурного тока, являющегося расчетной величиной.
В заданной цепи (рисунок 1.1) можно рассмотреть три контура-ячейки (AEBA, ABCDA, BFCB) и ввести для них контурные токи Ik1, Ik2, Ik3.
Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры – это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.
Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.
На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим:
стрелками указываем выбранные направления контурных токов Ik1, Ik2, Ik3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;
составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.
I k1(R1 + r01 + R3) – Ik2R3 = E1
-Ik1R3 + Ik2(R3 + R4 + R5 + R6) – Ik3R5 = 0
-Ik2R5 + Ik3(R2 + r02 + R5) = -E2
П
одставляем
в уравнение численные значения ЭДС и
сопротивлений.
88∙Ik1 – 32∙Ik2 = 20
-32∙Ik1 + 124∙Ik2 – 51∙Ik3 = 0
-51∙Ik2 + 96∙Ik3 = -30
Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы ∆ и частные определители ∆1, ∆2, ∆3.
Вычисляем контурные токи:
A;
A;
A;
Действительные токи ветвей:
I1 = Ik1 = 0.190 A;
I2 = -Ik3 = 0.366 A;
I3 = Ik1 – Ik2 = 0.292 A;
I4 = -Ik2 = 0.102 A;
I5 = Ik2 – Ik3 = 0.265 A.
1.1.3 Применение метода наложения.
По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.
а) Определяем частные токи от ЭДС Е2 при отсутствии ЭДС Е1, т. е. рассчитываем цепь по рисунку 1.2. Решаем задачу методом «свертки».
R101 = R1 + r01 = 54 + 2 = 56 Ом
Определяем сопротивления:
Ом
R463101 = R4 + R6 + R3101 = 61.364 Ом
Ом
rэ = R5463101 + R2 = 70.852 Ом
Ток источника
А
Рисунок 1.2 − Схема линейной электрической цепи
постоянного тока без источника ЭДС E1
Вычисляем остальные токи ветвей:
А
А
А
А
б) Определяем частные токи от ЭДС Е1 при отсутствии ЭДС Е2, т.е. рассчитываем простую цепь по рисунку 1.3. Решаем задачу методом «свертки».
R202 = R2 + r02 = 43 + 2 = 45 Ом
Рисунок 1.3 − Схема линейной электрической цепи
постоянного тока без источника ЭДС E2
Определяем сопротивления:
Ом
R465202 = R4 + R6 + R5202 = 64.906 Ом
Ом
rэ = R3465202 + R1 = 75.433 Ом
Ток источника:
А
Вычисляем остальные токи ветвей:
А
А
А
А
Вычисляем токи ветвей исходной цепи (рисунок 1.1), выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направление:
I1 = -I'1 + I"1 = 0.190 A; I2 = I'2 – I"2 = 0.366 A;
I3 = I'3 + I"3 = 0.292 A; I4 = I'4 – I"4 = 0.102 A;
I5 = I'5 + I"5 = 0.265 A.