47.Окружность.

Окружность

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром.

Расстояние от точек до ее центра на­зывается радиусом. Отрезок, соединяю­щий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Прямая, проходящая через точку ок­ружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной (рис. 144).

Рис. 144

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружно­сти, расположенная вну­три плоского угла, назы­вается дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. На рисунке 145 а штрихов­кой отмечен централь­ный угол, которому со­ответствует дуга А В. дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. На рисунке 145 а штрихов­кой отмечен централь­ный угол, которому со­ответствует дуга А В.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность. Угол ВАС на рисунке 145 (b) вписан в окружность. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает ок­ружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той дуге, которая не содержит точку А, называется централь­ным, соответствующим данному вписанному углу.

Угол, вписанный в окружность, облада­ет следующим свойством: он равен поло­вине соответствующего центрального угла.

Из этого утверждения следует, что вписанные углы, стороны которых про­ходят через точки А и В, принадлежащие окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 146).

Рис. 146

В частности, углы, опирающиеся на диаметр, - прямые.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Чтобы описать окружность около тре­угольника, надо найти ее центр. Правило его нахождения обосновывается следую­щей теоремой:

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересече­ния перпендикуляров к его сторонам, проведенных через середины этих сторон (рис. 147).

Рис. 147

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Правило нахождения центра такой окружности обосно­вывается в следующей теоремой:

Центр окружности, вписанной в тре­угольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 148).

Рис. 148

48.Длина отрезка.

Определение. Длиной отрезка называется неотрицатель­ная величина, обладающая следующими свойствами:

1. равные отрезки имеют равные длины;

2. если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

Эти свойства длины отрезка используются при ее измере­нии. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины, такой единицей является длина произвольного отрез­ка. Результатом измерения длины отрезка х является неотри­цательное действительное число, обозначим его т(х). Это число называют численным значением длины отрезка х при выбранной единице длины или просто длиной.

Доказано, что такое число всегда существует и единствен­но. Доказано также, что для каждого положительного дейст­вительного числа существует отрезок, длина которого выра­жается этим числом.

Из определения длины отрезка следуют известные свойст­ва численных значений длин. Сформулируем некоторые из них, считая, что единица длины выбрана.

1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки.

х = у <=> m(х) = m(у)

2. Если отрезок х состоит из отрезков х₁ и х_2, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х₁ и х₂. Справедливо и обратное утверждение.

х = х₁+ х₂ <=> m(x) = m(х₁) + m(х₂)

3. При замене единицы длины численное значение длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

На практике для измерения длин отрезков используются различные инструменты, в частности линейка с нанесенными на ней единицами длины.

При решении практических задач используются стан­дартные единицы длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), метр (м), километр (км) и др.