16. Локальная та интегральная теоремы Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых Р(А)= р, событие А состоится m раз, подается такой приближенной зависимостью:

Локальная теорема Лапласа дает возможность вычислять вероятности, если n > 10 и p > 0,1.

17. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что событие А состоится от к раз при проведении n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р, подается формулой:

—функція Лапласа;

Значения функции Лапласа наводятся в специальных таблицах.

18. Формула Пуассона маловероятных случайных событий.

Точность асимптотических формул для больших значений n- числа повторных независимых экспериментов за схемой Бернулли – снижается с приближением p- к нулю .Тому при n > R

p- 0 при условии np=a=const вероятность появления случайного события m раз

(0<=m <=n),обчислюється за такой асимптотической формулой:

Если в каждом из n независимых повторных испытаний, а n большое, то

19. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности событий.

Разность, взятая по модулю p(∣∣nm−p∣∣<ε), ε>0

Мы должны определить вероятность того, что заданное отклонение не превзойдет величину ε.

−ε<nm−p<ε,−ε<nm−pn<ε умножим на √npq,

получим −ε√npq<√npqm−pn<ε√npq,√npqm−pn=k,

тогда (на основании интегральной теоремы Лапласа)

p(−ε√npq<ε√npq)=Φ(ε√npq)−Φ(−ε√npq)=2Φ(ε√npq)

Получили p(∣∣nm−p∣∣<ε)=2Φ(ε√npq)

20. Определение случайной величины.

Случайной называется величина, которая может получать разные числовые значения. Более строгое определение случайной величины связано с понятием пространства элементарных событий. Пусть задано пространство элементарных событий . Однозначная числовая функция которая задана на пространстве элементарных событий, называется случайной величиной.

Определение дискретной случайной величины

Случайной называется величина, которая может получать разные числовые значения. Более строгое определение случайной величины связано с понятием пространства элементарных событий. Пусть задано пространство элементарных событий . Однозначная числовая функция которая задана на пространстве элементарных событий, называется случайной величиной. Если пространство  дискретный, то случайная величина дискретная. Непрерывному пространству элементарных событий отвечает непрерывная случайная величина.

Соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения случайной величины.

Для дискретных случайных величин законы распределения могут задаваться множеством значений, что их приобретает случайная величина, и вероятностями этих значений.

Если то или, если величина приобретает зліченної множество значений, то

_Законы распределения дискретных случайных величин задаются в табличной форме (подаются значение случайной величины и их вероятности), аналитической (наводится формула, за которой вычисляются вероятности для заданных значений случайной величины), графической (в прямоугольной системе координат задается набор точек сполучивши точки отрезками прямых , достанем многоугольный распределения вероятностей). Универсальным способом задання закона распределения вероятностей является функция распределения Для дискретных величин

Функция распределения — ненисходящая, непрерывная слева

21. Математическим ожиданием, или средним значением, МХ случайной величины, называется ряд (для дискретных случайных величин) и интеграл (для непрерывных случайных величин), если они абсолютно совпадающие. Математическая надежда имеет такие свойства:

1. (С — стала);

2. ;

3. 

4. если Х и В — независимые случайные величины.

22. Дисперсия (отражается через ) случайной величины Х определяется за формулой:

Основные свойства дисперсии:

1. 

2. 

3. если случайные величины независимые.

Среднее квадратичное отклонение (отражается литерой ) является квадратным корнем из дисперсии.

Если от случайной величины отнимем ее математическую надежду, то достанем центрируемую случайную величину, математическая надежда которой равняется нулю. Деление случайной величины на ее среднее квадратичное отклонение называется нормированием этой случайной величины.

Случайная величина имеет нулевую математическую надежду и единичную дисперсию.