1 Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. Предметом изучения теории вероятностей и математической статистики являются случайные события, величины и функции. Событием называется любой исход опыта, различают следующие виды событий случайные достоверные невозможные Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. Выше событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания. Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел -- это испытание. Попадание в определенную область мишени -- событие.

2. Понятие достоверного и невозможного события используется для количественной оценки возможности появления того или иного явления, а с количественной оценкой связана вероятность. События называется несовместными в данном опыте если появление одного из них исключает появление другого. События называется совместными если появление одного из них не исключает появление остальных. Несколько событий образуют полную группу событий если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Если два несовместных события образуют полную группу они называются противоположными . События называется равновозможными если появление ни одного из них не является объективно более возможным чем другие События называются неравновозможными если появление хотя бы одного из них является более возможным чем другие. Случаями называются несовместные равновозможные и образующие полную группу события.

События, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти, называются случайными.

• События, которые при данных условиях имеют равные шансы, называются равновероятными.

• События, которые при данных условиях обязательно происходят, называют достоверными.

• События, которые при данных условиях не могут произойти, называют невозможными.

3.  Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов W(A)=m/n .

Замечание: отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Пример 1. В коробке находится шары. Из коробки наугад извлекают 5 шаров и 2 из них оказались красными. Найти относительную частоту появления красного шара.

Действительно, если событие достоверно, то m = n и относительная частота m / n = n / n = 1, т. е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице.

Если событие невозможно, то m = 0 и, следовательно, относительная частота 0 / n = 0, т. е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.

Для любого события 0 <= m <= n и, следовательно, относительная частота 0 <= m / n <= 1, т. е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Для существования статистической вероятности события А требуется: а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном примере в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,41 и т. д.

В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых события появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой W(A) = m/n, где m - число появления события, n - общее число испытаний.

4. Как было сказано выше, при большом числе n испытаний частота P*(A)=m/n появления события A обладает устойчивостью и дает приближенное значение вероятности события A, т.е. .     Это обстоятельство позволяет находить приближенно вероятность события опытным путем. Практически такой способ нахождения вероятности события не всегда удобен. В ряде случаев вероятность события удается определить до опыта с помощью понятия равновероятности событий (или равновозможности).     Два события называются равновероятными (или равновозможными), если нет никаких объективных причин считать, что одно из них может наступить чаще, чем другое.     Так, например, появления герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.  Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий: Это определение вероятности часто называют классическим. Можно показать, что классическое определение удовлетворяет аксиомам вероятности. 

5. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Р = Длина l / Длина L.

6.

Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Количество размещений из n по k, обозначаемое , равно убывающему факториалу:

Число всех перестановок порядка n равно числу размещений из n по n, т.е. факториалу:^[1][2][3][4]

Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту

7. Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (A_n).

8. Формула полной вероятности

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают .

Если событие  может произойти с вероятностью  и опыт повторяют  раз, то вероятность, что оно наступит хотя бы один раз, есть: , где .

 Если A₁ + A₂ + ... + A_n = D,

  т.е. если хотя бы одно из событий A₁ , A₂ , ... , A_n непременно должно осуществиться, то говорят, что события A₁ , A₂ , ... , A_n образуют полную группу событий.   Если при этом A_i попарно несовместимы (т. е. достоверное событие D подразделяется на частные случаи A₁ , A₂ , ... , A_n ), то говорят что события A₁ , A₂ , ... , A_n образуют полную систему событий.   Таким образом, если A₁ , A₂ , ... , A_n — полная система событий, то при каждом испытании обязательно происходит одно и только одно из событий A₁ , A₂ , ... , A_n.   Пример. При бросании игральной кости события B , E₂ , E₄ , E₆ ,, состоящие соответственно в выпадении нечетного числа очков, 2, 4 и 6 очков образуют полную систему.   Полную систему составляют также события E₁ , E₂ , E₃ , E₄ , E₅ , E₆, со- стоящие соответственно в выпадении 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. 

9. Условная вероятность

Пусть  и  — зависимые события. Условной вероятностью  события  называется вероятность события , найденная в предположении, что событие  уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий  и  равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило: .

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий  и  равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:. 

Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

  Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

10. Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Р_A (В) = Р (В). (*)

Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего параграфа, получим Р (A) Р (В) = Р (В) Р_B (A).

Отсюда Р_B (A) = Р (A), т. е. условная вероятность события A в предположении что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события В.

Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что   с в о й с т в о   н е з а в и с и м о с т и   с о б ы т и й   в з а и м н о.

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) Р_A (В) имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**)т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (**) принимают в качестве определения независимых событий. Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми. На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

11. Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.(*)

Доказательство Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А₁,А₂, ...,A_n. События А и

(ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

или

Ч а с т н ы й   с л у ч а й. Если события А₁ , А₂ , ..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий P (A) = l — qⁿ. (**)

12. теорема сложения для совместных событий

Суммой 2-х совместных событий называют событие, состоящее в появлении либо события A, либо события B, либо обоих сразу.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB) 

Доказательство:

A+B=AB+AB+AB (сумма несовместных пар)

Тогда p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)

Событие A=AB+AB,

Событие B=AB+AB

p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB) 

Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B),  где A и B - независимые;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B∖A),  где A и B - зависимые;

13. Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.