- •Содержание
- •§1. Понятие события.
- •Пространство элементарных событий.
- •Операции над событиями.
- •Теория и примеры.
- •Пространство элементарных событий.
- •Операции над событиями.
- •Задачи для аудиторного занятия.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Элементы комбинаторики. Теория и примеры.
- •Задачи для аудиторных занятий.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •§3. Классический подход к определению вероятности. Элементы комбинаторики. Теория и примеры.
- •Задачи для аудиторных занятий.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •§4. Геометрический и статистический подходы к определению вероятности. Теория и примеры. Геометрические вероятности.
- •Статистическая вероятность.
- •Задачи для аудиторного занятия.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •§5. Сложение и умножение вероятностей. Теория и примеры. Теорема сложения вероятностей.
- •Теоремы умножения вероятностей.
- •Задачи для аудиторного занятия.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •§6. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Теория и примеры.
- •Задачи для аудиторного занятия.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •§7. Повторение испытаний. Теория и примеры.
- •Локальная приближенная формула
- •Интегральная приближенная формула
- •Приближенная формула Пуассона:
- •Задачи для аудиторного занятия.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Тест для самопроверки.
- •«Нулевой» вариант контрольной работы по теме «Случайные события»
- •Образец выполнения контрольной работы.
- •Ответы к задачам для аудиторных занятий и самостоятельного решения
- •Приложение 1.
- •Приложение 2.
- •Литература
«Нулевой» вариант контрольной работы по теме «Случайные события»
Задача 1.
На экспертизу отправлено 4 подозрительные на брак изделия. Аi – событие, заключающееся в том, что i-е изделие бракованное. Найти выражения для событий:
A − только третье изделие бракованное;
B − два изделия бракованные;
C − по крайней мере два изделия бракованные;
D − хотя бы одно изделие бракованное.
Указать (если есть) несовместные события, противоположные события. Найти пару событий, среди которых одно влечет наступление другого.
Задача 2.
В организации некоторого мероприятия принимают участие 6 юношей и 4 девушки. Из них для встречи и регистрации участников мероприятия выбирают трех человек. Найти вероятности событий:
1) для встречи и регистрации выбраны 2 девушки;
2) для встречи и регистрации выбран хотя бы один юноша.
Задача 3.
Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для 1-го равна 0,6, для 2-го – 0,8, для 3-го – 0,5. Найти вероятности событий:
1) какие-то два стрелка попали в мишень (событие А);
2) хотя бы один стрелок попал в мишень (событие В).
Задача 4.
Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом (событие А).
Задача 5.
Пусть всхожесть семян ржи составляет 90 %. Чему равна вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет: а) ровно три (событие А); б) не менее двух (событие В)?
Образец выполнения контрольной работы.
Решение задачи №1.
Событие A заключается в том, что третье изделие бракованное, а остальные три изделия не бракованные, следовательно:
.
Событие B заключается в том, что бракованные какие-либо два изделия, следовательно:
Событие C заключается в том, что или два, или три, или четыре изделия бракованные, следовательно:
- три изделия бракованные;
- четыре изделия бракованные;
;
;
.
Событие D заключается в том, что или одно, или два, или три, или четыре бракованных изделия, следовательно:
- одно изделие бракованное;
.
Выражение для события D можно найти иначе. Рассмотрим событие - противоположное событию D.
- нет ни одного бракованного изделия;
;
.
Несовместные события: и ; и ;
События, среди которых одно влечет наступление другого: ; ; ; .
Решение задачи №2.
В данной задаче испытанием является отбор 3 человек из 10 человек.
Общее число n элементарных исходов равно числу сочетаний из 10 по 3:
.
Так как это число конечно и все исходы равновероятны, то по классической схеме определения вероятности вероятность любого события равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов.
а) Найдем число исходов, благоприятствующих событию А.
- число способов, которыми можно отобрать двух девушек из четырех, при этом еще одного человека следует выбрать из юношей.
- число способов, которыми можно отобрать одного юношу из шести.
- общее число элементарных исходов, благоприятствующих событию А (число способов, которыми можно выбрать из имеющихся 10 человек трех, среди которых две девушки и один юноша). Следовательно,
.
б) Событие - не выбрали ни одного мальчика – является противоположным событию , поэтому .
Найдем вероятность события . Число исходов, благоприятных событию равно числу способов, которыми можно отобрать 3 девушек из 4, то есть равно числу сочетаний из 4 по 3 ( ), следовательно,
.
Искомая вероятность
.
Решение задачи №3.
Введем события, вероятности которых известны по условию задачи:
– 1–й стрелок попал в мишень,
– 2-й стрелок попал в мишень,
- 3-й стрелок попал в мишень.
Тогда , , , , ,
.
1) Выразим событие через , , .
События А заключается в том, что 1-й стрелок попал в мишень, 2-й стрелок попал в мишень, а 3-й не попал (событие ), или 1-й стрелок попал в мишень, 3-й попал, а 2-й стрелок не попал (событие ), или 2-й и 3-й стрелки попали в мишень, а первый не попал (событие ), поэтому
.
События , , являются несовместными, следовательно,
2)Выразим события В через , , .
Рассмотрим событие - противоположное событию . - ни один стрелок не попал в мишень. Выразим события через , , , получим
.
В силу независимости событий , , (следовательно, и событий , , ) заключаем:
.
События и образуют полную группу событий, следовательно,
.
Решение задачи №4.
Решение. Введем гипотезы:
- деталь произведена первым автоматом;
деталь произведена вторым автоматом.
Гипотезы и образуют полную группу событий. Так как первый автомат производит деталей вдвое больше второго, то
; .
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, равна , если же она произведена вторым автоматом, то .
Вероятность того, что наудачу взятая деталь отличного качества по формуле полной вероятности равна
.
Искомая вероятность, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, находится по формуле Байеса:
.
Решение задачи №5.
Так как всхожесть каждого семени не зависит от всхожести остальных и вероятность всхожести всех семян одинакова, то применима формула Бернулли: , где , , .
а) .
б) Рассмотрим событие (противоположное событию ) - взошло менее двух семян:
,
Тогда .