Тема 2: антагонистические игры

Задача 4. Две фирмы А и В производят два конкурирующих товара. Каждый товар в настоящее время "контролирует" 50% рынка. Улучшив качество товаров, обе фирмы собираются развернуть рекламные кампании. Если обе фирмы не будут этого делать, то состояние рынка не изменится. Однако если одна из фирм будет более активно рекламировать свои товары, то другая фирма потеряет соответствующий процент потребителей. Обследование рынка показывает, что 50% потенциальных потребителей получают информацию посредством телевидения, 30%-через газеты и остальные 20%-через радиовещание. Цель каждой фирмы  выбрать подходящие средства рекламы. Предполагается, что обе фирмы располагают одинаковыми средствами для рекламы и намереваются вложить все средства в какой-либо один вид СМИ.

Сформулируйте задачу как игру двух лиц с нулевой суммой и найдите ее решение в смешанных стратегиях.

Решение. Предположим, что все средства для рекламы предприятия вкладывают в какой-то один вид СМИ. Обозначим чистые стратегии фирм таким образом: А₁, В₁ – выбор для рекламы телевидения; А₂, В₂ – выбор для рекламы газет; А₃, В₃ – радио.

Тогда платежная матрица A антагонистической игры определится элементами следующей таблицы:

	В1	В2	В3
А1	0	20	30
А2	-20	0	10
А3	-30	-10	0

Нижняя цена игры есть ; верхняя цена игры есть .

В данной игре имеется седло (А₁, В₁) - решение игры в чистых стратегиях. Цена игры V=0.

Задача 5. Игрок А записывает одно из двух чисел: 1 и 2, игрок В - одно из трех чисел: 1,2 или 3. Если оба числа одинаковой четности, то А выигрывает и выигрыш равен сумме этих чисел, если четности выбранных игроками чисел не совпадают, то В выигрывает, выигрыш равен сумме этих чисел. Построить платежную матрицу игры, определить верхнюю и нижнюю цену игры и проверить наличие седловой точки. Если седловой точки нет, найти решение игры в смешанных стратегиях.

A1	2	-3	4
A 2	-3	4	-5

Решение. Пусть стратегии A₁ и A ₂ игрока А состоят соответственно в записи чисел 1 и 2, а стратегии игрока В соответственно - в записи чисел 1,2,3. Тогда платежная матрица игры есть

Нижняя цена игры есть ; верхняя цена игры есть .

Решение игры в смешанных стратегиях есть: .

Ф рагмент рабочего листа Excel с решением задачи:

З адача решается с помощью "поиск решения" дважды:

в первый раз находится оптимальная смешанная стратегия для первого игрока,

а во второй раз (на том же листе и с теми же данными) - - для второго игрока.

З

Тип ЭВМ	Виды задач
	I	II	III	IV	V
1	200	400	600	400	700
2	300	400	600	500	800
3	400	500	600	500	800
4	700	300	500	200	100

адача 6. Предполагается организовать вычислительный центр коллективного пользования, который может быть оснащен мощными ЭВМ четырех типов. К решению будут приниматься пять видов задач (календарное планирование, статистическая отчетность и т.д.). Процесс решения задач зависит от характеристик ЭВМ, типа задачи и т.д. Расходы, связанные с деятельностью ВЦ, оплачивают заказчики, которым предъявляются счета за проведенные работы. Платежи – условные стоимости решений соответствующих задач – указаны в таблице:

Требуется найти оптимальные пропорции комплектования ВЦ приведенными выше ЭВМ.

Решение. Рассмотрим ситуацию как игровую. Сторона А (организаторы ВЦ) располагает четырьмя стратегиями 1-4 (по числу типов ЭВМ). Она стремится увеличить приток средств от заказчиков за счет ускорения обработки заказов и даже применения дорогостоящих ЭВМ там, где можно было бы обойтись более простыми машинами. Сторона В (пользователи ВЦ) старается разумно расходовать свои ограниченные средства, отказывается от чрезмерных требований к срокам выполнения работ с целью экономии, корректно формулирует задачи, выбирает те из них, которые представляют первоочередной интерес и т.д. (стратегии I-IV). В этих условиях следующая таблица является, по-существу, платежной матрицей антагонистической игры. Необходимо найти оптимальную смешанную стратегию комплектации , максимизирующую гарантированный средний уровень дохода. Искомую находим за три шага.

Шаг 1	Шаг 2	Шаг 3
Вычисляем средний уровень дохода ВЦ при условии выбора заказчиком задачи Вj : Обозначив через V гарантированный средний уровень дохода ВЦ, получаем задачу линейного программирования:	Переобозначаем и, подставляя значения элементов платежной матрицы, получаем задачу линейного программирования:	Решаем полученную задачу линейного программирования с помощью "поиск решения" Excel. Получаем следующий ответ: . Таким образом, найдена пропорция , указывающая на целесообразность комплектации ВЦ только машинами 3-го и 4-го типов, причем количество машин 3-го типа должно в пять раз превосходить количество машин 4-го типа. Средний гарантированный доход .

Ф рагмент рабочего листа Excel с решением задачи:

Задача 7. Каждый игрок показывает один или два пальца и одновременно пытается угадать число пальцев, показанных противником. Если только один из игроков угадал правильно, то он выигрывает сумму, равную общему числу пальцев, показанных обоими игроками. Во всех остальных случаях игра заканчивается вничью. Сформулируйте задачу как игру двух лиц с нулевой суммой и решите ее в смешанных стратегиях методом линейного программирования.

Решение. У игроков А и В имеется по четыре чистые стратегии:

	Стратегии
	А1 , В1	А2 , В2	А3 , В3	А4 , В4
Описание стратегий	Игрок показывает один палец и делает предположение, что его соперник показывает тоже один палец	Игрок показывает один палец и делает предположение, что его соперник показывает два пальца	Игрок показывает два пальца и делает предположение, что его соперник показывает один палец	Игрок показывает два пальца и делает предположение, что его соперник показывает тоже два пальца

Т

	В1	В2	В3	В4
А1	0	2	-3	0
А2	-2	0	0	3
А3	3	0	0	-4
А4	0	-3	4	0

еперь нетрудно определить элементы платежной матрицы (см. ниже слева). Нижняя цена игры есть ; верхняя цена игры есть .

Решение игры в смешанных стратегиях можно получить с помощью Excel. Оптимальными стратегиями будут:

.

.