ІНСТИТУТ КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ, АВТОМАТИКИ ТА МЕТРОЛОГІЇ

кафедра комп’ютеризованих систем автоматики

І. П. ГАРАНЮК

ОПТИМАЛЬНІ ТА

АДАПТИВНІ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ

Конспект лекцій

Для студентів спеціальності “Системи управління та автоматики”

ЛЬВІВ 2007

ВСТУП

Розвиток теорії оптимального управління пов’язаний з ростом вимог до швидкодії і точності систем управління. Підвищення швидкодії можливе лише при правильному виборі та розділенні обмежених ресурсів управління, саме тому облік обмежень на управління став центральним моментом в теорії оптимального управління. З іншої сторони, необхідність побудови систем управління високої точності вимагає врахування при синтезі регуляторів взаємного впливу окремих частин (каналів) системи. Синтез такого типу складних багатомірних (багатозвязаних) систем також складає предмет теорії оптимального управління. На теперішній час побудована математична теорія оптимального управління, на основі якої розроблені способи побудови оптимальних по швидкодії систем управління а також конструювання оптимальних регуляторів. В названій теорії використовується варіаційне числення, теорія диференціальних рівнянь, теорія матриць. В розвиток теорії оптимального управління внесли великий вклад такі вчені : О.М. Колмогоров, Л.С. Понтрягін, Н. Вінер, Р. Белман, Р. Калман.

Розвиток теорії адаптивного управління викликаний наростаючою кількістю складних об’єктів управління різної фізичної природи, параметри яких не визначені. Причинами невизначеності можуть бути велика кількість режимів роботи об’єктів або неможливість їх експериментального дослідження з метою визначення параметрів без порушення технологічного процесу, а також стиснуті терміни проектування, які не допускають часових затрат на дослідження та розрахунки параметрів динамічної моделі об’єкту. Регулятор об’єкту з невизначеними і змінними параметрами повинен змінюватися (адаптуватися) так, щоб роботоздатність і точність системи залишалися незмінними.

Автор конспекту лекцій розглянув окремі питання в аспекті теорії та практики побудови оптимальних та адаптивних систем управління і буде вдячний за зауваження та пропозиції по змісту конспекту.

РОЗДІЛ 1

СИСТЕМИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛІННЯ

1.1. Загальні принципи побудови систем управління

1.1.1. Принципи управління

Систему автоматичного управління умовно можна зобразити з двох частин: з об’єкту управління (ОУ) і управляючого пристрою (УП).

П ід об’єктом управління стосовно до інженерних задач розуміємо любий технічний пристрій, процесом на виході якого треба управляти.

Рис. 1.1 Загальна структура системи управління

Управляючий пристрій узагальнює всі елементи які входять в контур управління, які використовуються з метою організації процесу управління.

На вхід системи управління поступає задаючий вплив який визначає бажаний характер процесу управління . Управляючий пристрій на основі інформації про процеси та а також в деяких випадках на основі інформації про збурюючий вплив розраховує управляючий вплив з допомогою якого впливає на об’єкт управління з метою поставити процес в відповідність до задаючого впливу . В залежності від того, які величини контролюються, чи , системи управління поділяються на системи де реалізується принцип управління за відхиленням, збуренням та комбіновані.

Рис. 1.2. Структура системи в якій реалізується принцип управління за відхиленням

Р ис. 1.3. Структура системи в якій реалізується принцип управління за збуренням

В системах яких реалізується комбінований принцип управління, на управляючий пристрій поступає інформація про величину збурення а також відхилення регульованої величини від заданого значення, що дозволяє покращати статичні та динамічні показники систем управління.

1.1.2. Закони управління

Законом управління називають функціональний зв’язок між помилкою в системі і управляючим впливом (управляючою величиною).

Якщо позначити: помилку , (1.1)

управляючий вплив , то закон управління визначається виразом -

. (1.2)

В системах управління застосовують наступні закони:

1. Пропорційний закон управління (П-закон).

(1.3)

Системи де застосовують пропорційний закон управління називають статичними системами управління, в таких системах помилка пропорційна величині збурюючого впливу.

2. Інтегральний закон управління (І-закон).

(1.4)

Системи з інтегральним законом управління називають астатичними системами.

Помилки в таких системах не залежать від величини збурюючого впливу і визначається нечутливістю системи.

3. Пропорційно-інтегральний закон управління (ПІ-закон).

(1.5)

Системи називаються ізодромними системами управління.

4. Диференціальний закон управління (Д-закон).

(1.6)

Закон застосовується в поєднанні з П і ПІ законом.

5. Пропорційно-диференціальний закон

(1.7)

6. Пропорційно-інтегро-диференціальний закон

(1.8)

1.1.3. Математичний опис об’єктів управління

Для вирішення більшості задач аналізу і синтезу систем управління необхідно мати математичну модель об’єкту управління (ОУ).

Побудова математичної моделі полягає в встановленні ряду співвідношень які дозволяють знайти сигнал на виході об’єкту управління при дії вхідних впливів і початкових станах.

Модель отримують як математичне формулювання фізичних законів яким підлягає робота ОУ. В загальному виді ОУ є багатомірним має керованих процесів , … ;

вхідних впливів , … ;

зовнішніх збурюючих впливів , … .

Р ис. 1.4. Структура багатомірного об’єкту управління

Р

ОУ

ис. 1.5. Узагальнена структура багатомірного об’єкту управління

Математичний запис фізичних законів які визначають властивості неперервного ОУ зводиться до системи нелінійних диференціальних рівнянь, які зв’язують вихідні і вхідні процеси та їх похідні. Ця система може мати дуже складну форму і може бути записана:

(1.9)

.

Якщо , то об’єкт називають одномірним. Якщо функції , , є лінійними відносно керованих і керуючих процесів та їх похідних, то об’єкт називають лінійним за керуванням, аналогічно визначається лінійністю за збуренням.

Тобто, якщо функції , , є лінійними відносно збурюючих і керуючих процесів та їх похідних, то об’єкт називають лінійним за збуренням.

Записана математична модель (1.9) об’єкту в сучасній теорії оптимальних та адаптивних систем отримала обмежене поширення. Найбільш часто диференціальних рівнянь (1.9) з яких -те має порядок представляють в вигляді системи з диференціальних рівнянь першого порядку кожне з яких вирішене відносно похідної. З цією метою в розгляд вводять нових змінних , ,…, які підбирають таким чином, щоб систему (1.9) можна було подати в формі:

(1.10)

Цю систему називають нормальною формою Коші.

1 .2. Мета і задача управління

В

ведемо для розгляду -мірну систему координат по осях якої будемо відкладати величини .

Г

рафічно таку систему можна зобразити тільки коли (Рис. 1.6.) в інших випадках вона не піддається геометричній інтерпретації і вводиться як зручний для наступного викладу абстрактний прийом. Простір який характеризується цією системою координат називають простором станів або фазовим простором. Нехай в деякий момент часу (звичайно ) це початок відліку часу, змінні стану мають значення , або іншими словами, вектор стану рівний . Початок цього вектора знаходиться в точці простору стану, а кінець в точці . Цю точку називають зображаючою точкою.

Нехай до об’єкту управління прикладені конкретні впливи і . Підставимо ці впливи в рівняння стану об’єкту яке має вигляд

(1.11)

Де позначено:

- -мірний вектор стану з компонентами

- -мірний вектор управління з компонентами

- -мірний вектор керованих процесів з складовими

- -мірна вектор-функція з компонентами

- -мірна вектор-функція з компонентами

векторна функція скалярного аргументу – це функція в якої залежна змінна є вектором а аргумент набуває дійсних, іноді комплексних значень:

Якщо тепер вирішити це рівняння при початкових умовах , то отримаємо рішення:

, (1.12)

яке залежить від всіх впливів і початкових умов. Цьому рішенню кожному значенню в просторі станів буде відповідати певна точка. Якщо ці точки з’єднати то отримаємо криву яка називається траєкторією руху об’єкту. Умовно можна прийняти, що точка в часі рухається в просторі станів, а слід який вона залишає є траєкторією руху об’єкту. Допустимо, що в момент часу на об’єкт подається управління , тобто в момент починається управління . В реальному об’єкті управління за рахунок його конструктивних особливостей на його вхід не можуть подаватися довільні управляючі впливи. Реальні управління мають обмеження, як приклад

=const; (1.13)

Сукупність обмежень формує область можливих значень управляючих впливів. Позначимо цю область символом і назвемо цю область областю допустимих управлінь. Реально управління які надходять на вхід об’єкту управління повинні належати області допустимих управлінь тобто

(1.14)

В цьому випадку управління називають допустимими, і як правило вони є кусково-неперервними функціями. Аналогічно компоненти вектора станів … в загальному випадку також мають певні обмеження. Це значить що вектор в просторі станів не повинен виходити за межі деякої області , яка називається областю допустимих станів, скорочено

(1.15)

Нехай в області можна виділити деяку підобласть станів ( ) які для нас є бажаними. Мета управління полягає в тому щоб перевести об’єкт з початкового стану , в якому він знаходився в момент часу , в кінцевий стан , який належить підобласті , області допустимих станів. Тобто .

Момент часу , який відповідає моменту попадання об’єкту в бажаний кінцевий стан, може бути невідомим. Для досягнення мети управління на вхід об’єкту необхідно подати відповідне управління. Задача управління полягає в тому, щоб в області допустимих управлінь (1.14) підібрати таке управління, при якому буде досягнута мета. Інакше кажучи треба знайти таке допустиме управління , яке визначається на часовому інтервалі (де може бути наперед невідомим), при якому рівняння ОУ при заданому початковому стані і відомому вектору мають рішення , які задовольняють обмеження (1.15) при всіх і кінцеву умову .

1.3. Задача оптимального управління

1.3.1. Критерії якості управління

Щоб судити про степінь відповідності системи вимогам які до неї ставляться, вводяться числові показники, які відображають якісну сторону процесу руху до мети управління і які формують поняття якості управління. Формально якість управління можна описати двома способами:

1. В формі показників якості (значень перерегулювання, часу регулювання, встановленої помилки при типових збуреннях).

2. В формі деякого узагальненого показника, який визначається усіма процесами , , , . Якість процесу управління суттєво залежить від конкретного виду управління . При кожному управлінні на якому досягається мета управління, якість управління буде приймати різні значення.

При другому підході якість управління описується деяким узагальненим показником якості який є мірою ефективності досягнення мети управління засобами конкретного управління . Узагальнений показник якості - це числова характеристика яка в загальному випадку залежить від , , , , так що конкретному закону управління і процесам , відповідають певні показники якості.

Н

(1.16)

айбільш часто узагальнений показник якості є функціонал і його можна записати в вигляді інтегрального відношення

Де функція визначає конкретний фізичний смисл показника якості.

Введення цього показника якості дозволяє сформулювати задачу оптимального управління, яка формулюється:

В

(1.17)

області допустимих управлінь треба знайти таке допустиме управління , на якому показник якості (13) при заданих , досягає екстремального значення,

а об’єкт управління переводиться з початкового стану Y(t₀) в кінцевий стан

залишаючись в області допустимих станів (15) при всіх

Умову (1.17) називають критерієм оптимальності (цей термін часто застосовують і до самого показника). Управління яке задовольняє умову задачі називають оптимальним управлінням. Рішення рівняння ОУ, яке відповідає оптимальному управлінню, називають оптимальною траєкторією руху ОУ. Систему управління, яка з позиції критерію (1.17) є найкращою серед всіх інших систем, називають оптимальною.

1.4. Класифікація задач оптимального управління

Сформульована задача оптимального управління виходить з умови що оптимальне управління шукається як функція часу . Такій стратегії управління відповідає розімкнута система яка не має зворотних зв’язків і яка по суті працює в програмному режимі. Таку задачу ще називають задачею оптимального програмного управління.

Для замкнутих систем управління які мають зворотні зв’язки та канали компенсації збурень задача оптимального управління зводиться до розробки такого алгоритму управляючого пристрою, його структури та параметрів, при яких на основі інформації про , , в кожний момент часу вираховується допустиме управління при якому можна одержати екстремум показника якості.

Вирішення оптимальних задач суттєво визначається обмеженнями на стани ОУ і час управління.

1.Задача без обмеження на змінні стану.

В цьому випадку умова зміниться, тобто вектор стану може виходити за область допустимих станів . Тобто змінні стану можуть належати всьому простору станів.

2.Задача з фіксованим часом.

В цій задачі час є відомою фіксованою величиною.

3.Задача з закріпленим правим кінцем траєкторії.

В цьому випадку множина бажаних значень вектора складається з єдиної точки в яку повинен попадати вектор при . Якщо множина є підобласть простору станів то застосовують термін “ Задача з рухомим правим кінцем”.

4. Задача з вільним правим кінцем.

В таких задачах кінцевий момент є зафіксований, але обмеження на положення вектора відсутні, тобто кінець вектора може знаходитися в любій точці простору.

1.5. Приклади задач оптимального управління

1. Задача про мінімальну тривалість перехідного процесу.

Нехай маємо замкнуту систему управління. (рис 1.1)

Об’єкт управління описується рівняннями стану які представлені в матрично-векторній формі :

; . (1.18)

Тут – квадратна - матриця; , – - мірні вектори; – скаляр, визначаються співвідношеннями

; ;

. (1.19)

В початковий момент часу об’єкт знаходиться в нульовому стані ( ). В цей момент часу на вхід системи подається задаючий вплив в формі одиничного ступінчастого стрибка, тобто одинична стрибкоподібна функція . Ставиться задача знайти таку структуру і параметри управляючого пристрою, інакше кажучи алгоритм роботи УП , в формі закону управління , при якому тривалість перехідного процесу

( рис.1.7) буде найменшою, а також буде досягнуто кінцевий стан вектора стану , вважаючи що управління обмежене умовою . Критерій оптимальності в цьому випадку має вигляд:

(1.20)

ця задача відноситься до широкого класу задач про максимальну швидкодію.