Розділ 8

Моделювання економічного ризику

Ситуація прийняття рішення в умовах невизначеності та пород­женого нею ризику передбачає наявність трьох елементів:

1. Концептуальної моделі.

2. Ідентифікованої інформаційної ситуації.

3. Критерію (чи системи критеріїв) прийняття рішення.

Одним з підходів є концепція на базі застосування теоретико-ігрової моделі.

8.1. Теоретико-ігрова модель

Конфліктні ситуації характеризуються наявністю кількох суб’єктів, що мають, взагалі кажучи, різні цілі. Цілі необов’язково повинні бути антагоністичними (протилежними). Більш того, значно частіше зустрічаються реальні конфлікти, у яких інтереси сторін (суб’єктів) частково збігаються, і, як наслідок, вони заінтересовані у спільних чи скоординованих діях. Такі ситуації досить розповсюджені в економіці.

8.1.1. Концепція теорії гри

Під теорією гри розуміють теорію математичних моделей та методів, пов’язаних з прийняттям раціональних рішень в умовах конфлікту та невизначеності. Широко відомою моделлю прийняття рішень в умовах невизначеності є статична модель, породжена теоретико-ігровою концепцією.

Згідно з концепцією теорії гри ситуація прийняття рішень характеризується множиною {X;  ; F}, де Х — множина рішень (стратегій) суб’єкта керування (1-го гравця),  — множина станів (стратегій) економічного середовища (ЕС) (2-го гравця), F = {f(x, ); х  Х;   } — функціонал оцінювання (ФО), визначений на множині Х   і такий, що набуває значення з простору (одновимірного простору), функція f(x, ) — функція виграшу 1-го гравця (суб’єкта керування).

8.1.2. Економічне середовище

Під економічним середовищем надалі будемо розуміти сукупність невизначених чинників (у тому числі й економічних), які впливають на ефективність рішення, що приймається.

У дискретному випадку ЕС являє собою повну групу взаємовиключаючих та взаємодоповнюючих випадкових подій:

 = {₁; ₂; …; _n};  = ₁ + ₂ +_…+ _n;

Р() = Р(₁ + ₂ +…+ _n) = Р(₁) + Р(₂) + ... +Р(_n)=р₁+р₂+…+р_n=1.



Приклад 8.1. Керівництво фірми вважає, що протягом певного проміжку часу на прибутки фірми, пов’язані з реалізацією товару, найбільший вплив матимуть два чинники:  — підвищення ціни на транспортні послуги,  — зниження ціни через появу конкурентів. Побудувати множину станів ЕС з урахуванням цих чинників.

Розв’язання. Моделлю ЕС може бути така система випадкових подій:

₁ = ; ₂ = ; ₃ =  ; ₄ = ,

де , — випадкові події, що є протилежними відповідно до  та .

Оскільки випадкові події  та  можна вважати незалежними, то, поклавши Р() = 0,3; Р() = 0,4, отримуємо:

Р(₁) = Р( ) · Р( ) = 0,7 · 0,6 = 0,42 = р₁;

Р(₂) = Р( ) · Р() = 0,7 · 0,4 = 0,28 = р₂;

Р(₃) = Р() · Р( ) = 0,3 · 0,6 = 0,18 = р₃;

Р() = Р() · Р() = 0,3 · 0,4 = 0,12 = р₄;

р₁ + р₂ + р₃ + р₄ = 1._-

8.1.3. Функціонал оцінювання

У випадку, коли є дискретними множина стратегій суб’єкта керування Х = {х₁; х₂; …; х_m} та множина станів ЕС  = {₁; ₂;…; _n}, функціонал оцінювання задається матрицею:

,

елемент якої — це кількісна оцінка рішення х_kХ за умови, що середовище перебуває у стані _j  .

Рішенню х_k відповідає вектор оцінювання F_k = {f_k1; f_k2; …; f_kn}, к = 1, ..., m.

Приклад 8.2. (Задача про фруктового дилера [9]). Фруктовий дилер скуповує у селян малину по 15$ за кошик і продає у місті по 25$. Протягом кожного з 40 днів «малинового сезону» він продавав різну кількість кошиків. Це обумовлено випадковістю попиту на цей товар. Дилер помітив, що попит обсягом 4 кошики спостерігався 4 дні, 5 кошиків — 8 днів, 6 — 16 днів, 7 — 10, 8 — 2 дні.



Проблема, що виникла у діяльності дилера, — це оптимальний (з позиції отримання прибутку) вибір кількості кошиків, які він повинен закуповувати щодня.

Розв’язання. Для вирішення проблеми, що постала перед дилером, попередньо побудуємо функціонал оцінювання. А тому в якості множини рішень (проектів) Х вибираємо обсяг одноразової закупівлі малини (число кошиків), в якості економічного середовища  — попит на цю продукцію.

Очевидно, що дилеру недоцільно купувати менше, ніж чотири й більше, ніж вісім кошиків, а тому Х = {х₁; х₂; х₃; х₄; х₅}, де х_і — це рішення про закупку і + 3 кошиків малини, і = 1, ..., 5.

Очевидно також, що множина станів ЕС (попит) теж складається з п’яти елементів:  = {₁; ₂; ₃; ₄;₅ }, де _і — це попит на і+3 кошики малини, і =1, ..., 5.

Побудову ФО здійснимо на основі таких міркувань. Якщо дилер придбав на один кошик більше, ніж продав протягом дня, то на цій операції він втрачає 15$, оскільки вередливий покупець не придбає «вчорашню» малину. Якщо він придбає на один кошик менше, ніж міг би придбати, то він нічого не втрачає, оскільки всі збитки будуть відшкодовані. Але він міг би отримати більше, тому що додатково закуплений кошик дав би йому прибуток у 10$ (він не використав свої можливості). Відповідні розрахунки заносимо в таблицю 8.1.

Таблиця 8.1 (ФО) відображає прибутки, які дилер може отримати при різних варіантах закупки ним товару та попиту на нього. Наприклад, число 45 на перетині рядка х₄ та стовпчика ₃ показує прибуток дилера за умови, що він придбав 7 кошиків, а попит становив — 6. А тому від перших шести кошиків дилер має прибутку 60$, а від сьомого потерпає збиток у 15$, тобто 45 = 60 –

– 15 ($)._-

Як бачимо, прибуток залежить від попиту на продукцію, який неможливо точно передбачити, а тому прибуток — це випадкова величина. Отже, ми маємо типову задачу прийняття рішень в умовах невизначеності та породженого нею ризику.

Таблиця 8.1

Рішення (кількість закуплених кошиків)	Стани ЕС (попит в кошиках)
	1 (4 кошики)	2 (5 кошиків)	3 (6 кошиків)	4 (7 кошиків)	5 (8 кошиків)
х1 (4 кошики)	40	40	40	40	40
х2 (5 кошиків)	25	50	50	50	50
х3 (6 кошиків)	10	35	60	60	60
х4 (7 кошиків)	– 5	20	45	70	70
х5 (8 кошиків)	–20	5	30	55	80

У якості розподілу ймовірності станів ЕС можна використати відповідні відносні частоти настання цих випадкових подій:

.

Що стосується прийняття рішення, то воно може бути здійснене дилером на базі одного з критеріїв оптимальності, які будуть розглянуті згодом.