Лекція №13. Локальні екстремуми функції багатьох змінних. Умовний екстремум.
Локальні екстремуми функції двох змінних
Найбільше та найменше значення функції
Умовний екстремум
1. Локальні екстремуми функції двох змінних
Нехай функція z = f(х, у) визначена в області D, а точка D. Якщо існує окіл точки , який належить області D і для всіх відмінних від точок М цього околу виконується нерівність f (М)< f ( )(f (М) > f ( )), то точку називають точкою локального максимуму (мінімуму) функції , а число – локальним максимумом (мінімумом) цієї функції (рис. 1).
Рис. 1.
Точки максимуму та мінімуму функції називають її точками екстремуму.
Теорема 1 (необхідні умови екстремуму)
Якщо функція має в точці локальний екстремум, то в цій точці частинні похідні першого порядку по змінних х та у дорівнюють нулю або не існують.
Подібна теорема справедлива для функції n змінних. Точку , в якій частинні похідні першого порядку функції дорівнюють нулю, тобто , називають стаціонарною точкою функції .
Стаціонарні точки та точки, в яких частинні похідні не існують, називаються критичними точками.
В задачах з практичним змістом, як правило, відомо, що функція має екстремум. Якщо така функція має лише одну критичну точку, то ця точка і буде точкою екстремуму.
Теорема 2 (достатні умови екстремуму)
Нехай в стаціонарній точці М (х ; у ) і деякому її околі функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Якщо
>0,
то функція має в точці М екстремум, причому максимум при <0 і мінімум при >0. Якщо <0, то в точці М функція f (х, у) екстремуму не має.
Наслідок (другі достатні умови екстремуму)
Функція має мінімум в стаціонарній точці , якщо диференціал другого порядку в цій точці >0, і максимум – якщо <0.
Другі достатні умови екстремуму справедливі для функцій довільного числа змінних.
На основі теорем 1 і 2 дістанемо правило дослідження диференційовних функцій двох змінних на екстремум. Щоб знайти екстремум диференційовних функцій , необхідно:
Знайти стаціонарні точки функцій із системи рівнянь:
У кожній стаціонарній точці обчислити вираз , якщо >0, то – точка екстремуму функції, причому точка максимуму при <0 і мінімуму при >0; якщо <0, то точка (х ; у ) не є точкою екстремуму функції;
Обчислити значення функції в точках максимуму та мінімуму. Якщо =0, то ніякого висновок про характер стаціонарної точки зробити не можна і потрібне додаткове дослідження.
Приклад 1.
Знайти точки локального екстремуму функції
Знаходимо частинні похідні
Стаціонарні точки функції визначимо із системи:
Отже, функція має 4 стаціонарні точки:
Знайдемо величину . Оскільки то
Обчислимо величину в кожній стаціонарній точці:
<0 – в т. немає екстремуму.
<0 – в т. немає екстремуму.
>0 – в т. функція має екстремум; >0, отже в т. функція має локальний мінімум:
>0 – в т. функція має екстремум; <0, отже в т. функція має локальний максимум:
Приклад 2.
Знайти стаціонарні точки функції .
т. М(- ;-1) – стаціонарна точка.
Так як =0, то ніякого висновку про характер стаціонарної точки зробити не можна і потрібне додаткове дослідження.