Алгебра

Вопрос №5. Задачи на прямую и плоскость.

Задача.

Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными.

Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора. Направляющий вектор можно найти двумя способами:

Во-первых, можно найти координаты другой точки M₁ на этой же прямой и в качестве направляющего вектора взять вектор .

Во-вторых, если заметить, что нормальные векторы n₁ и n₂ плоскостей, чьи уравнения образуют систему уравнений для прямой, ортогональны самой прямой, то можно сделать вывод:

любой ненулевой вектор, ортогональный векторам n₁ и n₂, можно принять в качестве направляющего вектора p. В частности, можно положить .

Пример. Прямая задана уравнениями

(11.15)

Требуется написать ее параметрические уравнения.

Решение. Найдем какую-нибудь точку M₀ на прямой. Положим z=0. Система (11.15) примет вид

Решая ее, находим , . Таким образом, на прямой лежит точка . Найдем направляющий вектор. Нормальными векторами плоскостей, соответствующих уравнениям системы (11.15), являются , Положим . Тогда

Теперь, зная точку и направляющий вектор, можно написать параметрические уравнения прямой.

Ответ:

Задача.

Дано уравнение плоскости и уравнения прямой. Требуется найти их точку пересечения.

Так как точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости, то она удовлетворяет и уравнению плоскости, и уравнениям прямой. Поэтому для решения задачи нужно объединить уравнение плоскости и уравнения прямой в одну систему и решить ее.

Пример. Найдите точку пересечения прямой и плоскости .

Решение. Прямая задана каноническими уравнениями. Им соответствует система уравнений

В результате для нахождения точки пересечения прямой и плоскости получаем систему уравнений

Для ее решения можно предложить следующий путь. Из первого уравнения выражаем y через x: . Из второго уравнения z через x: . Найденные выражения y и z подставляем в третье уравнение и находим . Находим y и z: , .

Ответ:

Следующие две задачи связаны с нахождением угла.

1. Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

Угол φ между прямыми - это угол ψ между их направляющими векторами, если направляющие векторы образуют острый угол , или , если ψ - тупой угол . Во втором случае .

Для решения задачи достаточно найти направляющие векторы P₁ и P₂ прямых. Тогда

а искомый угол φ определяется из равенства

2. Даны уравнение плоскости П и уравнения прямой . Требуется найти угол φ между прямой и плоскостью.

По определению, угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 11.12).

Рис.11.12. φ - угол между прямой и плоскостью

Пусть ψ - угол между нормальным вектором n плоскости П и направляющим вектором p прямой . Тогда либо (рис. 11.12), либо (рис. 11.13).

Рис.11.13. φ - угол между прямой и плоскостью

В обоих случаях , а так как , то

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.

Пример. Найдите точку M₁, симметричную точке относительно прямой :

Решение. Найдем сначала проекцию M₀ точки M на прямую (рис. 2.14).

Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой

Для этого напишем уравнение плоскости П, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой , а затем найдем точку M₀ , являющуюся точкой пересечения плоскости и прямой.

Заметим, что плоскость, перпендикулярная прямой , параллельна нормальным векторам n₁ и n₂ плоскостей, соответствующих уравнениям в системе (11.16). Поэтому нормальный вектор n плоскости, перпендикулярной прямой , можно взять равным : , ,

Уравнение плоскости П: , то есть .

Находим точку M₀:

Решение этой системы: X = 2; Y = -1; Z = 1, .

Пусть - искомая точка. Тогда из рис. 11.14 видно, что . Находим , . Тогда

откуда , , .

Ответ: .

Вопрос № 24. Квадратичные формы.