Билет №28

1.(10).Метрические пространства .Открытые и замкнутые множества. Полные метрические пространство .Теорема Банаха о сжимающем отображении и ее приложения.

Пусть задано множество М и для любых х,у М введено понятие расстояния между ними или метрика и обладающая следующими свойствами 1.

2.

3.

Множество М удовл. 1-3 наз. Метрическим прстранством.

Определение Если множество D содержит все свои граничные точки, то оно называется замкнутым. Если же множество D не содержит ни одной своей граничной точки, то оно называется открытым (т. е. открытое множество состоит из одних внутренних точек). (пустое множество явл. замкнутым)

Определение Если любые две точки множества D можно соединить ломаной, целиком лежащей в D, то множество Dназывается связным.

Примеры связных множеств: круг, кольцо

Определение Если все точки Р множества D удовлетворяют неравенству М, где М >0, а Р₀ - некоторая точка множества D, то D называется ограниченным множеством.

Геометрически ограниченность множества D означает, что его можно целиком поместить внутри открытого круга (или шара - в случае пространственного множества) с центром в точке Р₀ и радиусом М. Подобно тому, как для функции одной переменной было введено понятие непрерывности на интервале или отрезке, так и для функции нескольких переменных можно ввести понятие непрерывности на открытом или замкнутом множестве. Однако сначала нужно условиться о том, что мы будем по непрерывностью функции в граничной точке .Пусть Р₀ граничная точка множества D. Будем говорить, что функция непрерывна в граничной точке Р₀, если для любого существует такое , что из неравенства , где Р , следует неравенство .

Определение Если функция F(x,y) непрерывна в каждой точке М (внутренней или граничной), то функция называется непрерывной на множестве D.

Т еорема 1Пересечение любого числа и сумма конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Теорема 2Множество М открыто дополнение М до всего пространства R, т. е.R\M замкнуто.

Теорема2Объединение любого числа , пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто.

Задача :Докажем что интервал (0,2)открытое множество .

Берем любое х этому интервалу .Найдем расстояние .

Выделим окрестность которая < .Возьмем точку х₀ 1<х₀< х₀

О рассматриваем суммух бесконечного числа замкнутых множеств

обратное доказывается методом от противного.

Допустим что это не верно х х х=0 х и этогно не можкет быть .Это означает что х но т. к. х= х= это противоречит условию х

2.(9) Взаимное рассположение прямой и плоскости.

Пусть имеем прямую d, заданную уравнениями x= x₀+l₁t,

y= y₀+l₂t, (1)

z= z₀+l₃t.

и плоскость П, заданную уравнением Аx+By+Cz+D=0 (2)

относительно аффинной системы координат R= {0, }. Найдем общую точку прямой d и плоскости П. Для этого нужно решить систему уравнений (1), (2). Заменяя x,y,z в уравнении(2) по формулам (1), получим: (Аl₁+Вl₂+Сl₃)t+(Ax₀+By₀+Cz₀+D)=0 (3).

Здесь возможны следующие случаи: 1) система уравнений (1),(2) имеет единственное решение когда уравнение (3) имеет единственное решение когда Аl₁+Вl₂+Сl₃ 0 (4)- необходимое и достаточное условие пересечения прямой d и плоскости П. В прямоугольной системе координат {O, } оно имеет простой геом-ий смысл: скалярное произведение направляющего вектора = l₁ + l₂ + l₃ прямой d и вектор номали =А +В +С плоскости П отлично от нуля векторы и не ортогональны. В частоности, прямая d перпендикулярна плоскости П когда векторы и коллинеарны, т.е. когда ранг =1. 2) система уравнений (1),(2) не имеет решений, когда уравнение (3) не имеет решений, т.е. когда (5) – необходимое и достаточное условие того что d П=. В прямоугольной системе координат они означают, что ┴ , М₀ П, где М₀(x_0,y_0,z₀) d.

3) система уравнений (1),(2) имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда уравнение (3) удовлетворяет любым значениям t, т.е. когда (6) - необходимое и достаточное условие для того, чтобы прямая d принадлежала плоскости П. В прямоугольной системе координат они означают, что ┴ , М₀ П. Из (5) и (6) , что d║П Аl₁+Вl₂+Сl₃=0.

Уголм между прямой d и неперпендикулярной к ней плоскостьюП называется острый угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией d’ на плоскость П.