Статическая детерминированная модель с дефицитом
В рассматриваемой модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при J(t) = 0 спрос сохраняется с той же интенсивностью , но потребление запаса отсутствует - b(t) = 0, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис.3. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рис.2 характеризирует накопление дефицита.
Из рис.3 видно, что каждый период «пилы» разбивается на два временных интервала, т.е. T=T1+T2, где T1 – время, в течение которого производится потребление запаса, T2 – время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии.
Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен ее объему n, а меньше его на величину дефицита n-s, накопившегося за время Т2 (рис. 3).
Из геометрических соображений легко установить, что
(17)
В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами С1 (на пополнение запаса) и С2 (на хранение запаса) необходимо ввести затраты Сз - на штраф из-за дефицита, т.е. C=C1+C2+C3.
Затраты С1, как и ранее, находим по формуле (11). Затраты С2 при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т1 равен sT1/2; поэтому с учетом (7) и (5) эти затраты составят
= (18)
При расчете затрат С3 будем считать, что штраф за дефицит составляет в единицу времени с3 на каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период Т2 равен (n-s) T2/2, то штраф за этот период Т2 составит с3(n-s)T2, а за весь период θ с учетом (7) и (19)
(19)
Теперь, учитывая (12), (18) и (19), суммарные затраты равны
(20)
Нетрудно заметить, что при n=s формула (19) совпадает с ранее полученной (8) в модели без дефицита.
Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция С (9) принимает минимальное значение. Другими словами, необходимо исследовать функцию двух переменных С (n,s) на экстремум. Приравнивая частные производные ∂C/∂n, ∂C/∂s к нулю, получим после преобразований систему уравнений:
(21)
Решая систему, получаем формулы наиболее экономичного объема партии ñ0 и максимального уровня запаса s̃0 для модели с дефицитом:
(22)
(23)
Величина (24)
называется плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса и играет важную роль в управлении запасами. Заметим, что 0≤ρ≤1. Если значение с3 мало по сравнению с с2, то величина ρ близка к нулю: когда с3 значительно превосходит с2, то ρ близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что с3 = ∞ или ρ = 1.
Используя (24), основные формулы (22) и (23) можно записать компактнее:
(25)
(26)
В силу (17) и (26) T1/T = s̃0/n 0 = ρ и Т2/Т = (n 0 - s̃0)/ n 0 =1-ρ. Поэтому утверждение о том, что плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса равна ρ, означает, что в течение (1- ρ)100% времени от полного периода T запас продукта будет отсутствовать.
Из сравнения формул (25) и (10) следует, что оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением
(27)
откуда вытекает, что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (в 1/ раз), чем в задаче без дефицита.
►16.5. Найти наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, сохраняя условия задачи 16.2, кроме недопустимости дефицита, если известно, что отсутствие на сборке каждой детали приносит в сутки убытки в размере 3,5 ден. ед.
Решение. По условию с3 = 3,5. Ранее было получено по формуле (9) n0=4335 и по (15) Т0=13,2. Найдем плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса по формуле (24): ρ=3,5/(0,35 + 3,5)=0,909, т.е. 100(1-0,909)=9,1% времени между поставками детали на сборке будут отсутствовать.
Теперь оптимальный размер партии по формуле (27) ñ0 = 4335/ = 4547. В силу (15) пропорционально увеличению ñ0 должен увеличиться интервал между поставками, т.е. T̃0 = T0/ = 13,2/ = 13,8 ≈14 дней.