2.Расчет структуры переменных электромагнитных полей в волноводе.

Общее задание

Для заданного типа волны с начальной амплитудой поля E₀ = 5кВ/см, распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением ab, получить аналитические выражения продольной и поперечных компонент полей в комплексной форме записи и для мгновенных значений. Для численных параметров задачи построить эпюры полей по осям x, y, z, а также картину распределения полей в плоскостях xy и xz. Рассчитать заданные характеристики полей и построить их зависимости от частоты.

Параметры задачи

Волна E₄₃, ab = 3515 мм; l = 8 мм; диэлектрическая проницаемость e = 3. Рассчитать ф и гр.

Решение

Оси координат расположим в соответствии с рис. 2.1.

y

x b

z a

Рисунок 2.1.

Полость волновода заполнена диэлектриком, электрическая проницаемость которого e. Длина волновода в направлении оси z не ограничена. Процесс распространения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода рассматриваем, полагая, что стенки волновода выполнены из сверхпроводящего материала (g = ¥). При этом условии напряженность электрического поля на стенках волновода будет равна нулю (плотность тока на стенках волновода d = gE есть величина конечная, поэтому при g®¥, E®0).[2]

Электромагнитное поле в волноводе описывается волновым уравнением:

(2.1)

где  – круговая частота, _а и _а – абсолютные электрическая и магнитная проницаемости.

Для заданного типа волны выполняется следующее условие:

E_z  0, H_z = 0, m = 4, n = 3.

Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами, бегущими вдоль оси волновода (оси z) и стоячими в двух остальных направлениях.

Тот факт, что волны являются бегущими вдоль оси z, в формально математи-ческом отношении находит свое выражение в том, что каждая из составляющих волн, при записи ее имеет множитель exp(*t-k_p*z), где k_p – коэффициент распространения.

Если подставить в уравнение (2.1), то последнее разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь следующее уравнение:

(2.2)

Упростим уравнение (2.3) путем подстановки решения вида:

, (2.3)

справедливого для гармонических процессов в волноводах [2], где

– продольный коэффициент распространения в волноводе,    – длина волны в волноводе. Множитель выражает собой то обстоятельство, что вдоль оси z движется бегущая волна.

Подставляем (2.3) в (2.2):

^{Заменим} и поделим на . Получим:

(2.4)

Воспользуемся методом разделения переменных и искомую функцию представим в виде:

(2.5)

и подставим в (2.4), получаем:

Разделим это уравнение на XY, получим:

(2.6)

Сумма двух функций и , из которых одна является функцией только x, а другая – функцией только y, может равняться постоянному числу только в том случае, если каждая из этих функций есть постоянное число. Перейдем от частных производных к обыкновенным и положим:

Здесь через k_x и k_y обозначены постоянные разделения (поперечные волновые числа), удовлетворяющие равенствам:

X(x)=C_xsin(k_xx+φ_x), Y(y)= C_xsin(k_xx+φ_x).

Исходя из соотношения (2.5), имеем выражение для амплитуды (волновой множитель опускаем) продольной составляющей электрического поля:

(2.7)

^{где – начальная комплексная амплитуда; k}_x^{, k}_y^{, }_x ^{и }_y ^{– постоянные} интегрирования.

Для нахождения поперечных компонент поля воспользуемся уравнениями Максвелла в проекциях на оси координат[1,2]:

(2.8) (2.11)

(2.9) (2.12)

(2.10) (2.13)

^{В силу того, что для E-волны , то уравнения (2.8), (2.9), (2.13) можно} упростить, убрав выражения, содержащие :

Поскольку характер изменения полей по оси z задается выражением (2.4), то в (2.8)-(2.13) примем, что:

.

^{Рассмотрим теперь уравнения (2.8) и (2.12) как систему для и} , ^{а уравнения (2.9) и (2.11) — и} :

(2.14)

^{Подставляя в (2.14) значение , получаем выражения для поперечных составляющих поля:}

(2.15)

В соответствии с граничными условиями на стенках волновода = 0 при x=0 и x=a, а = 0 при y=0 и y=b. Тогда:

^{, где n = 0, 1, 2, …}

^{, где m = 0, 1, 2, …}

^{Окончательное выражение для составляющих поля после подстановки найденных постоянных, а также после подстановки , примет вид:}

^{Заменим }_a^:

^{, где — эквивалентное сопротивление волновода для Е-волны [3]; — волновое сопротивление неограниченной среды; f}_кр ^{— критическая частота.}

^Тогда:

(2.16)

Аналитические выражения для составляющих поля волны Е₄₃ получаем из (2.16) при m = 4 и n = 3:

(2.16)

Для восстановления действительных значений необходимо компоненты полей домножить на опущенный ранее волновой множитель , перейти по формуле Эйлера [4] к тригонометрической форме записи и взять действительную часть полученного выражения:

Получили:

(2.17)

Длина волны в волноводе и эквивалентное сопротивление волновода для Е-волны в общем случае определяются следующими соотношениями [1, 2]:

^{, ,}

^{где — волновое сопротивление неограниченной среды; }_кр ^{— критическая длина волны, которая равна:}

Подставив значения, получаем:

Фазовая и групповая скорости в общем случае определяются следующими соотношениями:

ф = гр =  ^(2.18)

^Где

^{-скорости електромагнитной волны в неограниченной среде с параметрами ε}_а ^{и µ}_а^{, состветствующими параметрами диелектрического заполнения волновда:}

=

 ф= (м/с)

гр = (м/с)

Для соотношений (2.17), (2.18) составляем блок-схему и программу расчета ^{зависимостей компонент поля от координат волновода и значений}  ф ^и гр ^{от .}

Вывод

При выполнении курсовой работы были приобретены навыки по расчету структуры стационарных потенциальных полей и переменных электромагнитных полей в направляющих системах, а также закреплены навыки основ программирования и работы на персональном компьютере.

В соответствии с заданием на курсовую работу были выведены выражения для потенциала и напряженности полей, рассчитаны (с помощью ЭВМ) семейство эквипотенциальных линий для цилиндрической полости в диэлектрической среде.

В случае переменного электромагнитного поля в прямоугольном волноводе получены аналитические выражения для электрических и магнитных компонент поля, построены их распределения в поперечном и продольном сечениях. В поперечных сечениях волновода вдоль осей x и у образуются стоячие волны в результате наложения многократных отражений от стенок волновода электромагнитного поля. Длина волны в волноводе больше длины волны в свободном пространстве. При таком условии возможно нормальное распространение электромагнитных волн (без затухания).