- •10. Функции нескольких переменных
- •10.1. Предварительные определения
- •10.2. Последовательности точек. Предел последовательности
- •10.3. Понятие функции нескольких переменных
- •10.4. Предел функции в точке
- •10.5. Повторный предел функции в точке
- •10.6. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области
- •10.7. Непрерывность функции нескольких переменных в области
- •10.8. Частные производные функции нескольких переменных
- •10.9. Дифференцируемые функции. Дифференциал
- •10.10. Производные сложной функции
- •10.11. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных
- •10.12. Неявные функции
- •10.13. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •10.14. Производная по направлению. Градиент
10.14. Производная по направлению. Градиент
Рассмотрим характеристики функций нескольких переменных.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (см. рисунок 10.9) и дифференцируема в этой точке. Обозначим через луч с началом в точке , который ориентирован вектором , - единичный вектор. Запишем параметрические уравнения луча :
Рисунок 10.9
Точка принадлежит лучу . Длина отрезка луча равна
.
Функцию , принимающую значения в точках луча, можно определить как функцию одного аргумента . Производная этой функции в точке называется производной функции в точке по направлению вектора и обозначается символами
, .
По определению имеем:
.
Поскольку
,
то
и представляет собой скорость изменения функции в точке по направлению вектора .
Формулу для вычисления производной по направлению получим с применением формулы теоремы о производных сложной функции (третий частный случай).
.
Таким образом,
.
По определению градиентом функции в точке является вектор
.
С применением формулы для производной по направлению и скалярного произведения выясним смысл градиента (необходимые обозначения приведены на рисунке 10.10).
.
Рисунок 10.10
При значение будет наибольшим и равным 1. При этом производная по направлению принимает наибольшее значение . Следовательно, вектор определяет направление наибольшего роста функции в точке , а есть скорость наибольшего роста.
В случае функции трех переменных, определенной в окрестности точки (см. рисунок 10.11) и дифференцируемой в этой точке, производной в точке по направлению вектора с направляющими косинусами является величина
.
Для вычисления производной применяется формула
.
По определению вектор
есть градиент функции в точке . В случае имеет место формула
.
Рисунок 10.11
Пример. Найти производную функции в точке по направлению вектора , , и градиент в точке .
Полагая , вычислим значения частных производных заданной функции в точке .
.
Найдем направляющие косинусы вектора .
, , .
Тогда с применением формулы для производной по направлению получаем
.
Искомым градиентом будет вектор .
С использование правил дифференцирования, формул для производной сложной функции устанавливаются следующие свойства градиента. Предполагаем, что функции и дифференцируемы в точке .
а) ;
б) ;
в) , если ;
г) для сложной функции имеет место формула
,
где .