10. Функции нескольких переменных

10.1. Предварительные определения

Все определения и утверждения, как правило, будем приводить для функций двух переменных. Если нет особых оговорок, то определения и утверждения легко переносятся на случай функций большего числа переменных.

Пусть есть арифметическое 2-мерное векторное пространство (см. раздел 4), . Компоненты вектора этого пространства можно понимать как координаты точки плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат . Наоборот, каждой точке однозначно соответствует элемент пространства . Тогда подмножество множества можно изобразить некоторой совокупностью точек плоскости , а элементы обозначать так же как и точки плоскости . Говоря о подмножестве множества , всегда будем представлять это подмножество как множество точек плоскости .

Расстояние между элементами и пространства или точками , плоскости точками есть величина

.

Для трех точек , и получаем

,

где , .

С использованием известного неравенства Коши – Буняковского для действительных чисел ,

при , получаем:

.

Полученное неравенство

называется неравенством треугольника.

Множества точек

или

,

где , называются соответственно открытым кругом радиуса с центром в точке и открытым квадратом со сторонами и с центром . Эти множества часто используются в рассуждениях и носят специальные названия - -окрестность точки . Часто вместо обозначения будем использовать обозначение .

Некоторая точка по определению есть внутренняя точка множества , если множество полностью содержит некоторую окрестность точки . Если каждая точка множества является внутренней, то называется открытой областью или, короче, областью.

Область называется связной, если любые ее две точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в области .

Точка , не принадлежащая области , называется граничной для области , если каждая окрестность точки содержит точки, принадлежащие . Множество всех граничных точек области называется границей этой области. Например, границами многоугольника, круга являются соответственно многоугольник, окружность.

Множество, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью.

Если область, то граница ее обозначается символом . Тогда есть замкнутая область.

Пусть есть некоторое множество точек на плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат . Множество называется ограниченным, если некоторый замкнутый круг , где - фиксированная точка, целиком содержит множество .

10.2. Последовательности точек. Предел последовательности

Если каждому натуральному числу поставлена в соответствие точка , то говорят, что определена последовательность точек из пространства :

, …, , … .

Последовательность кратко обозначают символами или , а так же или .

По определению последовательность называется ограниченной, если ограниченным является множество

.

Точка по определению является пределом последовательности , если для любого числа найдется натуральное число , зависящее от числа , такое, что для всякого верно неравенство .

Последовательность, обладающая пределом, называется сходящейся, и в этом случае пишут , .

Пример. Показать, что последовательность сходится к точке .

Пусть и произвольно, и . Следуя определению предела последовательности, получаем неравенство:

.

Полагаем: . Последнее неравенство равносильно неравенству . Если или , то полагаем: и тогда для всех верно или . Отсюда . Если или , то полагаем: . Тогда из неравенства следует неравенство и, следовательно, неравенство . Отсюда .

Таким образом, для произвольного и положительного нашлось натуральное число

такое, что для всех выполняется неравенство . По определению данная последовательность сходится к точке .

Поскольку есть числовая последовательность, то можно так сформулировать определение предела: точка является пределом последовательности , если .

Теорема 10.1. Для того чтобы последовательность имела своим пределом точку , необходимо и достаточно, чтобы

и .

Доказательство. Доказательство основано на неравенствах: для любых чисел и верно

, ,

справедливость которых проверяется непосредственным возведением в квадрат.

В силу этих неравенств для точек , справедливы неравенства

,

Пусть , . Это означает, что . Тогда переходим к пределу в неравенстве :

, , ,

где последнее равенство равносильно .

Аналогично устанавливаем, что .

Пусть теперь верны равенства и , которые равносильны соответственно равенствам , . Переходим к пределу в неравенстве :

.

Получили: . Теорема доказана.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей.

1) Сходящаяся последовательность имеет только единственный предел.

Доказательство. Пусть и при . Тогда имеем неравенство

.

Поскольку и , то . Отсюда и тогда . Свойство доказано.

2) Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. В силу определения предела последовательности и, если , , то для некоторого значения и его соответствующего значения внутри окрестности

окажутся все элементы последовательности с номерами большими или равными , вне этой окрестности только лишь членов последовательности. Положим:

.

Тогда все элементы последовательности будут принадлежать замкнутому кругу

.

Это означает ограниченность последовательности. Свойство доказано.

Последовательность называется фундаментальной, если для любого существует натуральное такое, что для любых натуральных и выполняется неравенство .

Из неравенств

,

следует, что для того чтобы последовательность была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы числовые последовательности , были фундаментальными. Тогда в силу теоремы 10.1 и критерия Коши (теорема 5.19) сходимости числовых последовательностей справедливо следующее утверждение.

Теорема 10.2. (критерий сходимости последовательности точек из пространства ). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Аналогично случаю числовых последовательностей определяется понятие подпоследовательности. Если из некоторых членов последовательности составлена новая последовательность , в которой порядок следования ее членов совпадает с порядком их следования в исходной последовательности (из неравенства следует неравенство ), то последовательность называется подпоследовательностью последовательности .

Теорема 10.3. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится.

Доказательство. Пусть - произвольная подпоследовательность сходящейся к точке последовательности . Тогда для любого найдется натуральное такое, что неравенство имеет место для всех . Следовательно, найдется элемент последовательности с номером и тогда для всех элементов подпоследовательности с номерами справедливо неравенство . По определению последовательность сходится к точке . Теорема доказана.

Теорема 10.4. Из любой ограниченной последовательности точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть последовательность , ограничена. Тогда найдется замкнутая окрестность такая, что для всех и тогда верны неравенства

,

.

Неравенства , , выполнимые для всех , означают, что последовательности и ограничены.

Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса для числовой последовательности (см. теорему 5.18) из числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Подпоследовательность ограниченной последовательности также ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность . Поскольку всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, то сходится подпоследовательность . Таким образом, последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность . Теорема доказана.

Как и в случае множества действительных чисел в пространстве вводится понятие бесконечно удаленной точки . Эта воображаемая точка плоскости определяется с помощью окрестности.

По определению бесконечно удаленной точкой является такая точка, для которой любое множество (где число любое) является окрестностью.

Отметим, что бесконечно удаленная точка определяется без знака.

По определению последовательность сходится (или стремится) к бесконечно удаленной точке , если для любого найдется натуральное число такое, что для любого верно .

Если последовательность сходится к бесконечно удаленной точке, то пишут

Некоторое множество из пространства называется неограниченным множеством, если для любого верно .

Последовательность по определению является неограниченной последовательностью, если множество

неограниченно.

Теорема 10.5. Всякая неограниченная последовательность содержит подпоследовательность, стремящуюся к бесконечности.

Доказательство. Пусть последовательность , неограниченная. Тогда найдется точка такая, что . Среди точек , , … исходной последовательности найдется точка такая, что . Вообще существует точка такая, что

, , .

Таким образом, построена подпоследовательность . Покажем, что она неограниченная.

Пусть произвольное. Всегда найдется натуральное число такое, что . Все точки номерами принадлежат . По определению последовательность является неограниченной. Теорема доказана.