1 Интерполяция
Интерполяционные кубические сплайны, типы граничных условий. Построение СЛАУ для определения параметров сплайна, разрешимость СЛАУ.
Полиномиальные сплайны
Непрерывная функция называется (полиномиальным) сплайном порядка (степени) с узлами , если на каждом подынтервале задан алгебраический полинома степени, не превосходящей , а в каждой точке производная может иметь разрыв
Гладкость сплайна характеризуется дефектом сплайна
В узле сплайн имеет дефект , если в этой точке непрерывны функции , а производная имеет разрыв
Интерполяционные кубические сплайны дефекта 1
Пусть на определена сетка , в каждом узле которой задано значение функции - интерполяционные условия.
Кубический сплайн дефекта 1 :
на каждом из интервалов функция представляется полиномом степенью
- коэффициентов подлежат определению
Дефект сплайна, равный 1, определяет его гладкость
- условий на внутренних узлах сетки
Сплайн удовлетворяет интерполяционным условиям
- условий на всех узлах сетки
Сплайн удовлетворяет одной из пар ГУ (2 условия)
ГУI:
ГУII:
ГУIII:
ГУIV:
Потенциальная разрешимость – к-во уравнений = к-ву неизвестн.
Для уменьшения к-ва ( ) уравнений, из которых вычисляются параметры сплайна, вместо вводятся новые неизвестные
или
На каждом интервале сетки, длиной , вводится (нормированная) переменная
Рассмотрим вариант для определения вектора .
Исходя из представления , запишем выражение сплайна на каждом интервале сетки, удовлетворяющее :
которое позволяет удовлетворить условие гладкости для второй производной
Для учета интерполяционных условий и гладкости первой производной вычислим и , проинтегрировав
Определим константы интегрирования из интерполяционных условий , в результате получим формулу вычисления сплайна на каждом интервале сетки
Обозначим
Из условий непрерывности на внутренних узлах сетки получим уравнение для определения неизвестного
В зависимости от типа ГУ вид итоговой СЛАУ различен.
Для ГУII - известны. Подставляя в уравнения с и и собирая свободные члены в правой части, получим СЛАУ с 3-х диагональной матрицей порядка для определения искомого компонента вектора
Матрица СЛАУ имеет диагональное преобладание
,
СЛАУ имеет единственное решение, которое находят устойчивым к ошибкам округления методом прогонки
Значения сплайна в любой точке интервала вычисляются по формуле
Для ГУI, ГУIII, ГУIV для определения к системе добавляется уравнения для и , получаемых из граничных условий. СЛАУ удается привести к трехдиагональной с диагональным преобладанием, что даем возможность использовать метод прогонки.