Лекция. Балка на упругом основании

 

2.1. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки, лежащей на сплошном упругом основании

 

В инженерной практике часто встречаются балочные элементы конструкций, лежащие на сплошном  упругом основании. К таким конструкциям могут быть отнесены шпалы железнодорож­ного пути, ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин, опирающиеся на грунты и др. Кроме того, к таким конструкциям относятся также и рельсы, у которых число опор бесконечно вели­ко, а расстояние между ними мало по сравнению с длиной.

Расчет балки на упругом основании в строгой постановке сво­дится к решению контактной задачи между конструкцией и осно­ванием. Поэтому для решения инженерных задач, связан­ных с расчетом балки применяются приближенные подходы, суть которых заключается в следующем:

1) Предварительно устанавливается зависимость между реактивным отпо­ром и осадкой поверхности основа­ния. Одной из наиболее распростра­ненных гипотез является гипотеза о пропорциональной зависимости меж­ду реакцией и осадкой   гипотеза Винклеровского основания.

Рис.2.1

 

На рис.5.1 показана деформация балки от внешней нагрузки, распределенной по произвольному закону. Реакция со стороны ос­нования в произвольной точке, при соблюдении условий проскальзывания  на контак­тной поверхности между подошвой балки и основанием, принимается пропорцио­нальной прогибу:

      (2.1)                                                                                                              

где r(x)  реакция основания, приходящаяся на единицу длины балки, (Н/м); y(x)  просадка основания;  ; b  ширина по­дошвы балки; k₁  коэффициент, характеризующий жесткость ос­нования и называемый коэффициентом податливости ос­нования или коэффициентом постели, [Па/м].

Этот коэффициент представляет собой отпор основания, при­ходящийся на 1 м² площади при просадке, равной единице. Знак минус (-) в выражении (2.1) означает, что реакция противоположна направлению просадки.

Значения коэффициента постели k₁ для некоторых грунтовых и скальных оснований приведены в таблице 2.1.

Таким образом, со стороны основания на балку действует сплошная распределенная нагрузка интенсивностью r(x). Суммар­ная интенсивность распределенной нагрузки, приложенной к балке при произвольном значении x определяется:

,                                                                                        (2.2)

где q(x)  приложенная к балке, заданная распределенная нагрузка (например, вес погонной длины балки).

                                                                                                                                                                                  

                                                                                                                                                                                

 Таблица 2.1

Значения коэффициента постели k1 для различных грунтов

                                                                                            

№№	Материал основания	k1, МПа/м
1	Песок свеженасыпанный Глина мокрая, размягченная	15
2	Грунты средней плотности: песок слежавшийся; гравий насыпной; глина влажная	550
3	Грунты плотные: песок и гравий, плотно слежавшийся; щебень; глина малой влажности	50100
4	Грунты весьма плотные: грунт песчаноглинистый, искусственно уплотнен­ный; глина твердая;	100200
5	Известняк, песчаник, мерзлота	2001000
6	Твердая скала	100015000

 

Дифференциальное уравнение изгиба упругой балки в данном случае принимает вид:

,                                                                                                                          (2.3)

или после подстановки (12.2) в (12.3) получим:

.                                                                                                           (2.4)   

Физический смысл модели, приводящий к уравнению (2.4), может быть различен. Так, если основание принимать в виде упру­гого полупространства, взамен модели Винклеровского основания, из приближенных решений контактных задач, то коэффициент k имеет вид:

,

где  E_o  модуль обшей деформации грунта основания;   коэффициент Пуассона.

В случае балки постоянного сечения интегрирование уравнения (2.4) не представляет особых затруднений. Вводится обозначение:

;  

где   называется коэффициентом относительной жесткости осно­вания, [1/м].

Тогда дифференциальное уравнение (2.4) принимает вид:

.                                                                                                 (2.5)

Решение уравнения (2.5) можно получить общими методами решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффици­ентами, и оно имеет следующую структуру:

,                                            (2.6)

где С_j  произвольные постоянные, j = 1, 2, 3, 4; y_j (x)  частное линейнонезависимое решение соответствующего (5.5) однородно­го уравнения

,                                                                                                                 (2.7)       

y*(x)  частное решение неоднородного уравнения (2.5), зависящее от характера внешней нагрузки q(x).

Частное решение однородного уравнения (2.7) представляется в виде  , подставляя которое в (2.7), получим характе­ристическое уравнение

.                                                                                                                                 (2.8)

Используя формулы Муавра для корней из комплексных чисел найдем четыре корня уравнения (2.8):

;  ;  ;  ,

где i  мнимая единица (i =  ).

Следовательно, решение вида (5.6) будет таким

  (2.9)

Произвольные постоянные С₁, С₂, С₃ и С₄ находятся из гранич­ных условий для конкретной задачи, как и при расчете обычной балки.