Разложение функций в степенные ряды
1.1. Ряды Тейлора и Маклорена
Для приложений важно уметь данную
функцию
разлагать в степенной ряд, т. е. функцию
представлять в виде суммы степенного
ряда.
Как известно, для любой функции
,
определенной в окрестности точки
и имеющей в ней производные до
-го
порядка включительно, справедлива
формула Тейлора:
,
(1.1)
где
,
– остаточный член в форме Лагранжа.
Число с можно записать в виде
,
где
.
Формулу (1.1) можно кратко записать в виде
где
– многочлен Тейлора.
Если функция
имеет производные любых порядков (т. е.
бесконечно дифференцируема) в окрестности
точки х0, и остаточный
член
стремится к нулю при
,
то из формулы Тейлора получается
разложение функции
по степеням
,
называемое рядом Тейлора:
(1.2)
Если в ряде Тейлора положить
,
то получим разложение функции по степеням
х в так называемый ряд Маклорена:
(1.3)
Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции . Так, например, функция
имеет в точке
производные всех порядков, причем
при всяком n.
Ряд Маклорена имеет вид
.
Он сходится, но его сумма
в любой точке х равна нулю, а не
.
Пусть для функции составлен соответствующий ей ряд Тейлора.
Теорема 1. Для того, чтобы ряд
Тейлора (1.2) функции
сходился к
в точке х, необходимо и достаточно, чтобы
в этой точке остаточный член формулы
Тейлора (1.1) стремился к нулю при
,
т. е. чтобы
.
Пусть ряд Тейлора (1.2) сходится к функции
в некоторой окрестности точки
,
т. е.
.
Так как n-я частичная
сумма
ряда (1.2) совпадает с многочленом Тейлора
,
т. е.
,
находим
Обратно, . Тогда
Замечание. Если
ряд Тейлора (1.2) сходится к порождающей
функции
,
то остаточный член формулы Тейлора
равен остатку ряда Тейлора, т. е.
.
(Напомним, что
а
где
– сумма ряда Тейлора).
Таким образом, задача разложения функции
в степенной ряд сведена по существу к
определению значений х, при которых
(при
).
Если сделать это не просто, то следует
каким-нибудь иным способом убедиться,
что написанный ряд Тейлора сходится к
данной функции.
На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
Теорема 2. Если модули всех
производных функций
ограничены в окрестности точки
одним и тем же числом
,
то для любого х из этой окрестности ряд
Тейлора функции
сходится к функции
,
т. е. имеет место разложение (1.2).
Согласно теореме 1, достаточно показать,
что
.
По условию теоремы 2 для любого n
имеет место неравенство
.
Тогда имеем
Осталось показать, что
Для этого рассмотрим ряд
Так как
то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда в силу необходимого признака сходимости,
Следовательно,
