Лекция 23. Свойства потенциалов объема, простого и двойного

слоя.

Чтобы рассмотреть задачи Дирихле и Неймана кроме шара и полупространства еще и для других областей, мы должны рассмотреть в отдельности интегралы

, ,

которые встречались нам уже неоднократно. Как мы упоминали раньше, интеграл называется потенциалом объема, а функция - его плотностью; интеграл называется потенциалом двойного слоя, а - его плотностью; интеграл называется потенциалом простого слоя, а - его плотностью.

§1. Потенциал объема

Рассмотрим потенциал объема

(1)

где - конечная область. Предположим, что плотность ограничена и интегрируема в . Интеграл (1) является собственным, если точка лежит вне . В этом случае функция непрерывна и имеет частные производные всех порядков. Эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла, и удовлетворяет уравнению Лапласа вне области . Покажем, что при стремлении точки в бесконечность по любому направлению функция стремится к нулю, так что

где .

Пусть начало координат принадлежит области . Тогда

или

.

Обозначим через - диаметр области . Тогда

.

Будем считать, что точка настолько удалена от начала координат, что , т.е. , тогда или . Теперь

,

где

.

Таким образом, потенциал объема есть гармоническая функция вне области .

Пусть теперь точка лежит внутри области . Тогда интеграл (1) будет несобственным. В силу ограниченности плотности интеграл (1) сходится так, как

.

Кроме этого можно показать, что потенциал и его производные первого порядка непрерывны во всем пространстве и эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла.

Для существования производных второго порядков требуется наложить на плотность потенциала дополнительные ограничения. А именно справедливо утверждение:

Теорема 1. Если плотность непрерывна в замкнутой области и имеет непрерывные производные первого порядка внутри , то потенциал объема (1) имеет непрерывные производные второго порядка внутри и удовлетворяет внутри уравнению Пуассона

.

Итак, если , то уравнение Пуассона

имеет частные решение

.

§2. Поверхности Ляпунова

Для возможного строгого установления свойств потенциалов простого и двойного слоя необходимо подчинить ряду требований те поверхности, на которых расположены эти слои.

Будем называть замкнутую поверхность поверхностью Ляпунова, если выполнены следующие три условия:

1. Поверхность имеет везде касательную плоскость.

2. Вокруг каждой точки поверхности можно описать такой шар радиуса , не зависящего от , внутрь которого попадет лишь участок поверхности , встречающий прямые, параллельные нормали в точке , не более чем один раз.

3. Если - острый угол, образованный нормалями к в двух ее точках и , и - расстояние между этими двумя точками, то имеет место неравенство

,

где и - постоянные числа, причем .

Условие 1) дает возможность в каждой точке поверхности Ляпунова построить местную прямоугольную систему координат , Беря точку за начало координат, касательную плоскость в точке за плоскость и нормаль поверхности в точке за ось . Условие 2) показывает, что в этой местной системе координат уравнение части поверхности , заключенной внутри сферы с центром в точке и радиусом , может быть представлено в виде, разрешенном относительно :

.

Из условия 3) следует, что частные производные и являются непрерывными функциями и .