Лекция №6.
Основные задачи математической статистики. Определение законов распределения случайных величин на основе экспериментальных данных.
Предмет и задачи математической статистики.
Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. Любой такой результат можно представить как совокупность значений, принятых в результате n опытов какой-то случайной величиной или системой случайных величин. Поэтому дальнейший материал излагается на языке случайных величин.
Предмет математической статистики составляют методы регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений.
К основным задачам математической статистики относятся:
Задача определения закона распределения случайной величины по статистическим данным.
Теоретически при достаточно большом числе опытов свойственные изучаемым случайным величинам закономерности будут осуществляться сколь угодно точно. На практике мы всегда имеем дело с ограниченным количеством экспериментальных данных; в связи с этим результаты наших наблюдений и их обработки всегда содержат больший или меньший элемент случайности. К методике обработки экспериментальных данных следует предъявить такие требования, чтобы она, по возможности, сохраняла типичные, характерные черты наблюдаемого явления и отбрасывала все несущественное, второстепенное, связанное с недостаточным объемом опытного материала. В связи с этим возникает задача сглаживания или выравнивания статистических данных, представления их в наиболее компактном виде с помощью простых аналитических зависимостей.
Задача проверки правдоподобия гипотез.
Ставится она так: в нашем распоряжении имеется совокупность опытных данных. Спрашивается, противоречат ли эти данные той или другой гипотезе? Например, гипотезе о том, что случайная величина X распределена по закону с плотностью f(x). В результате проверки правдоподобия гипотезы может быть сделан один из выводов: 1) отбросить гипотезу, как противоречащую опытным данным; 2) не отбрасывать гипотезу, считать ее приемлемой.
Задача определения неизвестных параметров распределения.
Как на основании статистических данных, оценить, хотя бы приближенно, интересующие нас характеристики, например математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение случайной величины, над которой велись наблюдения? С какой точностью, при данном количестве опытов, будут оцениваться эти характеристики?
Простая и упорядоченная статистическая совокупность.
Совокупность наблюденных значений случайной величины Х представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке. Такая совокупность называется «простой статистической совокупностью» или «простым статистическим рядом». Обычно простая статистическая совокупность оформляется в виде таблицы, в первом столбце которой стоит номер опыта, а во втором – наблюденное значение случайной величины. Если значения случайной величины расположить в взрастающем порядке, то мы получим упорядоченную статистическую совокупность
Статистическая функция распределения.
Статистической функцией распределения случайной величины Х называется частота события Х<х в данном статистическом материале
F*(x)=P*(X<x)
Для того чтобы найти значение статистической функции распределения при данном х, достаточно подсчитать число опытов, в которых величина Х приняла значение, меньше чем х, и разделить на общее число n произведенных опытов.
Статистическая функция распределения любой случайной величины – прерывной или непрерывной – представляет собой прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. При увеличении числа опытов n, согласно теореме Бернулли, при любом х частота события Х<х приближается (сходится по вероятности) к вероятности этого события. Следовательно, при увеличении n статистическая функция распределения F*(x) приближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения случайной величины Х.
Если Х – непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений n число скачков функции F*(x) увеличивается, сами скачки уменьшаются и график функции F*(x) неограниченно приближается к плавной кривой F(x) – функции распределения величины Х.