1.4. Системы счисления

Совокупность приемов наименования и записи чисел называется счислением. Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью ограниченного алфавита символов, называемых числами. Счисление это частный случай алфавита, где слово, записанное с использованием алфавита по определенным правилам, называется кодом. Применительно к счислению это код числа.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционной системе каждое число обозначается соответствующей совокупностью символов. Римская система – сложный способ записи чисел и громоздкие правила выполнения арифметических операций.

Позиционный принцип в системах счисления.

Наиболее распространенными и совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы, в которых значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее положения (позиции) в ряду других чисел, изображающих число. Они обладают большим преимуществом наглядности и простотой выполнения арифметических операций.

Базис системы счисления – это последовательность так называемых ключевых чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту».

Примеры:

Пример 3.

Базис десятичной системы счисления: …, 10ⁿ, …, 10000, 1000, 100, 10, 1.

Пример 4.

Базис двоичной системы счисления: …, 2ⁿ, …, 16, 8, 4, 2, 1.

Пример 5.

Базис восьмеричной системы счисления: …, 8ⁿ, …, 64, 8, 1.

Более общий случай: … q_n=qⁿ, …, q₃=q³, q₂=q², q₁=q¹=q, q₀=q⁰=1.

Число q называют основанием системы. Основанием системы является число, означающее количество символов, используемых в системе счисления. Это любое целое число не равное единице.

В десятичной системе счисления десять символов (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;

В двоичной системе счисления два символа (цифры): 0,1;

Системы счисления, в которых веса смежных позиций цифр (разрядов) отличаются по величине в постоянное количество раз, равное основанию q системы счисления называются системы со степенными весами разрядов. Каждое число в таких системах может быть записано в цифровой и многочленной форме:

_____________

A_(q) = a_n-1 a_n-2 … a₂ a₁ a₀ , a_-1 …a_-m - цифровая форма записи;

A_(q) = a_n-1q^n-1 + a_n-2q^n-2 + … + a₂q² + a₁q¹ + a₀q⁰ + a_-1q^-1 …+ a_-mq^-m -многочленная форма записи (полином разложения).

Где A_(q) - запись числа в системе счисления с основанием q;

q - основание системы счисления;

a – символы из алфавита системы счисления, целые числа меньше q;

n - число разрядов (позиций) в целой части числа;

m - число разрядов в дробной части числа.

Цифровую форму записи еще называют условно сокращенной формой записи числа в позиционной системе счисления, т.е. кодом числа.

Примеры:

Пример 6.

Десятичная система счисления:

256,25 - цифровая форма записи (код числа);

210² + 510¹ + 610⁰ + 210^-1 + 510^-2 - многочленная форма записи.

Пример 7.

Двоичная система счисления:

1101,01 - код числа (цифровая форма записи);

12³ + 12² + 02¹ + 12⁰ + 02^-1 + 12^-2 - многочленная форма записи.

В вычислительной технике при обработке информации применяют системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную, т.е. систему счисления с основанием q = 2^k , где к = 1, 3, 4.

Если десятичное число записать в двоичном виде, то оно в 3,3 раза больше содержит цифр, тем не менее именно двоичная форма записи используется в компьютере непосредственно для проведения различных вычислений.

Любой элемент, имеющий два устойчивых состояния, может использоваться для запоминания информации в компьютера.

Арифметические действия над одноразрядными двоичными числами выполняются по следующим правилам:

0 + 0 = 0 0 х 0 = 0

0 + 1 = 1 1 х 0 = 0

1 + 0 = 1 0 х 1 = 0

1 + 1 = 10 1 х 1 = 1

Дальше мы будем рассматривать позиционные системы счисления со степенными весами разрядов, в которых веса смежных позиций цифр (разрядов) отличаются по величине в постоянное количество раз, равное основанию q системы счисления.

Любое число в такой системе счисления может быть представлено в виде полинома разложения:

(1.1)

где: q – основание системы счисления,

n – количество цифр целой части числа,

m – количество цифр дробно части числа

Произвольное число с помощью этой формулы можно представить в виде разложения по степеням .

12,625₍₁₀₎ = 110¹ +210⁰ +610^-1 +210^-2 +510^-3

Это же число с помощью этой формулы можно представить в виде разложения по степеням двойки.

12,625₍₁₀₎ = 12³ + 12² +02¹ +02⁰ +12^-1 +02^-2 +12^-3 = 1101,101₍₂₎

В восьмеричной системе счисления алфавит состоит из восьми символов (цифр): 0, 1, … 7. Основание системы счисления q = 8. Для записи произвольного числа в восьмеричной системе счисления необходимо по формуле (1.1) найти его разложение по степеням восьмерки, а затем воспользоваться условно сокращенной записью.

Например, десятичное число 28₍₁₀₎ = 38¹ +48^{0 =} 34₍₈₎