10. Лінійні оператори у евклідових і унітарних просторах. Ортогональні, унітарні, самоспряжені, нормальні оператори.

Озн евклідового простору.

L,R, x,y Î L (x,y)Î R, що називається їх скалярним добутком, при цьому

1)(x,y)=(y,x)

2)(x,y+z)=(x,y)+(x,z)

3)(x,ly)= l(x,y)

4)(x,x)³0, (x,x)=0Þx=0, тоді простір L з заданим скалярним добутком є евклідовим простором.

Є два основні типи операторів у евклідових просторах: самоспряжені і ортогональні.

А:L L, А^* називають спряженим до оператора А, якщо для довільних x,yÎL.(A(x),y)=(x,A(y)). Оператор А самоспряжений, якщо А=А^*.А- самоспряжений, якщо в деякому ортонормованому базисі йому відповідає симетрична матриця.

Теорема про будову спряженого оператора:

Для довільного самоспряженого оператора можна вибрати ортонормований базис, що складається із власних векторів даного оператора.

Наслідок:Нехай А-квадратна матриця з дійсними елементами, якщо А- симетрична, то існує матриця Т з дійсними коефіцієнтами: Т^-1АТ=D(діагональна).

Лінійний оператор А:L L називається ортогональним якщо для довільних x,yÎL.(A(x),А(y))=(x,y).

Квадратна матриця з дійсними елементами називається ортогональною, якщо А^T=А^-1

Теорема: Для А:L L (L- евклідовий простір) такі твердження еквівалентні:

1)А-ортогональний.

2)А переводить ортонормований базис в ортонормований.

3)В ортонормованому базисі оператору А відповідає ортогональна матриця.

Дов.

1Û2:Нехай А ортогональний оператор, а Б- ортонормований базис, оскільки А зберігає довжину і кут між векторами, то базис Б переводиться оператором А в ортонормований.

Навпаки: нехай Б=a₁,..., a_n Б^’=b₁,...,b_n=А(a₁),..., А(a_n).

Треба довести,що А ортогональний.

x=a₁ a₁ +...+a_n a_n; y=b₁ a₁ +...+b_n a_n.

(x,y)= a₁b₁+...+a_nb_n

(A(x),A(y))=(a₁b₁+...+a_nb_n, b₁b₁+...+b_nb_n)=a₁b₁+...+a_nb_nÞ(A(x),A(y))=(x,y)

1Û3

А ортог. Ûколи для довільних x,y, (x,y)=(A(x),A(y)) Û(x,A^*A(y)) Û A^*A= ÛA^*=A^-1

A A, A^* A^T, A^-1 A^-1, A^-1=A^* Û A^-1=A^T Û коли А - ортогональна.

Теорема про побудову ортогонального оператора.

Нехай А - ортогональний оператор. А:L L (L- евклідовий простір), тоді L=L₁Å...Å L_k. dim L_i=1 або 2. Якщо dim L_i=1, то А діє на прямій L_i як тотожний оператор або дзеркальне відображення. dimL_i=2, то А діє на площині, як поворот на деякий кут j.

Наслідок: Для довільної ортогональної матриці А існує така ортогональна матриця Т:

, де B₁,..., B_kклітини розмірності 1 або 2.

Якщо dimB_i=1, то B_i=I₁. Якщо dimB_i=2, то .

Теорема про будову невиродженого оператора на евклідовому просторі: Нехай А:L L,А - невироджений, тоді існують такі ортогональний оператор H і самоспряжений F: A=HF.

11. Квадратична форма. Додатньо і від’ємно визначені квадратичні форми. Закон інерції квадратичних форм. Критерій Сильвестра.

Квадратичною формою називається числова функція одного векторного аргумента , яка випливає із білінійної форми , при .

Симетрична білінійна форма називається полярною до квадратичної форми .

Полярна білінійна форма і квадратична форма зв’язані наступним співвідношенням: , яке випливає з наступного співвідношення: і властивостей симетрії форми .

Нехай форма в базисі визначається матрицею . = , де - координати вектора в базисі . Припустимо, що дана форма може бути приведена до канонічного вигляду , причому шукаються за формулами: і занумеровані так, що перші є додатними, а решту - від’ємними: , ,…, , ,…, .

Нехай , ,…, , ,…, , ,…, . В результаті отримаємо, (*) , що наз. нормальним видом квадратичної форми. Отже, з допомогою деякого невиродженого перетворення координат вектора в базисі , (**) , , , квадратична форма приведена до нормального вигляду.

Теорема1(закон інерції квадратичної форми): Число доданків з додатними (від’ємними) коефіцієнтами в нормальному вигляді квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до даного вигляду.Доведення: Нехай форма з допомогою (**) приведена до (*), і з допомогою другого не виродженого перетворення координат прийдемо до нормального вигляду (***) .Для доведення теореми потрібно перевірити рівність .Нехай . Потрібно переконатися, що в даному випадку існує ненульовий вектор , що по відношенням до базисів, в яких форма має вигляд (*) і (***), координати даного вектора рівні нулю: (****). Так як отримані шляхом не виродженого перетворення (**) координат , а координати з допомогою аналогічного не виродженого перетворення тих же координат , то умову (****)можна розглядати як систему лінійних однорідних рівнянь відносно координат шуканого вектора в базисі .Так як , то число однорідних рівнянь (****) менше n, тому система (****) має ненульовий розв’язок відносно . Тому, якщо , то існує ненульовий вектор , для якого виконується рівність (****).В даному випадку отримаємо: .Дана рівність має місце, при і , що суперечить тому, що даний вектор є ненульовим. Аналогічно, при .Отже, .Теорема доведена.

Квадратична форма називається: додатньо (від’ємно) визначеною, якщо для будь-якого ненульового виконується рівність: ; знакозмінною, якщо існують такі , , що , .

Індексом інерції квадратичної форми наз. число відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів даної форми; додатнім(від’ємним) індексом інерції- число додатних (від’ємних) канонічних коефіцієнтів.

Теорема2: Для того, щоб квадратична форма , задана в мірному лінійному просторі, була знакосталою, необхідно і досить щоб або додатній індекс інерції , або від’ємний індекс інерції були рівні розмірності простору .

Якщо , то форма додатньо визначена, якщо - то від’ємно визначена.

Доведення: Доведення проведемо для додатньо визначеної квадратичної форми. Для відємно визначеної квадратичної форми доведення проводиться аналогічно.

Необхідність: Нехай форма додатньо визначена. Тоді . Якщо , то із останнього виразу випливає, що для ненульового вектора з координатами , ,…, , ,…, , форма перетвориться в нуль, що суперечить означенню квадратичної форми. Отже, .

Достатність: Нехай . , , причому, якщо , то , тобто є нульовим. Відповідно, є додатньо визначена квадратична форма. Теорема доведена. Теорема3(Критерій Сильвестра): Для того, щоб квадратична форма ,була додатньо визначена необхідно і досить щоб усі кутові мінори були додатними, тобто , ,…, .

Для того, щоб квадратична форма ,була від’ємно визначена необхідно і досить щоб знаки кутових мінорів чергувалися, причому .

Доведення: Необхідність: Докажемо спочатку, що із умови знакозмінності квадратичної форми випливає що , .Нехай . Розглянемо квадратну однорідну систему лінійних рівнянь: . Так як , то система має ненульовий розв’язок (не всі рівні 0).Помножимо перше з рівнянь на , друге- на ,…, останнє на . В результаті отримаємо рівність , ліва частина якого являє собою значення квадратичної форми. для ненульового вектора х з координатами . Це значення рівне нулю що суперечить знакозмінності форми. Якщо – додотньо визначена форма. То всі канонічні коефіцієнти додатні. З формул для канонічних рівнянь випливає, що , ,…, . Якщо ж відємно визначена форма то всі канонічні коефіцієнти від’ємні. Із означення канон. коеф. випливає, що знаки кутових мінорів чергуються, причому .

Достатність. Нехай викон. умови накладені на кутові норми в формулюванні теор. Так як і=1,2,3, …, п, то форму А можна привести до суми квадратів, причому конон. коеф. шукаються за вказаними вище формулами. Якщо , ,…, то з озн. канон. коеф. випливає що , тобто форма додатньо визначена. Якщо ж знаки чергуються і то форма відємно визначена. Теорема доведена