- •2. Понятие отображения, образ и прообраз мн-ва при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •3. Сюрьективные, инъективные и биективные отображения.
- •4. Аксиома нерерывности мн-ва вещественных чисел.
- •5.Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности.
- •7. Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •8. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной
- •9.Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •10.Число e.
- •11. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •12.Лемма о вложенных отрезках.
- •13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной
- •14 . Верхний и нижний пределы последовательности.
- •15.Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •16.Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •17.Критерий Коши существования предела функции.
- •18.Локальные свойства функций имеющих предел.
- •19.Теорема о пределе суперпозиции.
- •20.Односторонние пределы
- •21.Бесконечные пределы и пределы в бесконечности
- •22.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •22.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •23.Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •24.Замечательные пределы
- •25.Асимптоты графика функции
- •26.Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела
- •27.Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: ф-ия Дирихле и другие примеры
- •28.Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •29.Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши)
- •30.Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке ф-иях.
- •31. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции кнепрерывной и строго монотонной функции.
- •32.Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •33.Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •34.Арифметические операции с дифференцируемыми ф-иями.
- •35.Дифференцирование сложной функции
- •36.Дифференцирование обратной функции
- •37. Дифференцирование эл-тарных функций. Таблица производных.
- •38.Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •40.Производные и дифференциалы высших порядков.
- •41.Формула Тейлора для многочлена.
- •42. Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •43.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •44. Разложение эл-тарных функций по формуле Тейлора.
- •45.Правило Лопиталя.
- •46.Условия монотонности функции.
- •47.Условия экстремума функции.Необходимое условие локального экстремума доставляет теорема Ферма. Очевидно, она допускает следующее усиление.
- •48. Условия выпуклости функции.
- •49.Точки перегиба графика функции.
5.Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности.
О1. Число (точка) наз. пределом последовательности , если для любого существует такой номер , что для всех натуральных имеет место неравенство . (1)
Обозначение: , или (а также при )
Краткое, символическое О: |
В общем случае, окрестностью точки называют всякое мн-во , которое содержит некоторую ее -окрестность .
Наконец, О предела числовой последовательности может быть сформулировано следующим образом: Число (точка) наз. пределом последовательности , если все ее члены, начиная с некоторого номера, принадлежат любой наперед заданной окрестности точки .
О2. Если числовая последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится и называют ее сходящейся. В противном случае, т.е. если она не имеет предела, говорят, что она расходится и называют ее расходящейся.
Замечание 1. Очевидно, что если последовательность сходится (расходится), то сходящейся (расходящейся) будет и последовательность полученная из нее добавлением или исключением из нее конечного числа членов, при этом в случае сходимости исходной последовательности новая последовательность, будет иметь тот же предел, что и исходная.
Понятие ограниченной последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
Теорема 1. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
О3. Числовая последовательность наз.
А) ограниченной, если :
Б) ограниченной сверху, если :
В) ограниченной снизу, если
Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Утверждение обратное к утверждению последней теоремы, вообще говоря, неверно.
Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
О1. Суммой, разностью, произведением и частным последовательностей и называются, соответственно, следующие последовательности:
, , и , при этом, говоря о последней из них, предполагается, что для любого .
Теорема 1. ⊐ последовательности и сходятся.Тогда сходятся и последовательности (c- const), , и – последняя при условии и , – при этом
а) ,
б) (теорема о пределе суммы и разности)
в) (теорема о пределе произведения)
г) (теорема о пределе частного)
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Будем далее считать, что
, а . |
(1) |
Утверждение а) явл. частным случаем утверждения в), в частности, тем случаем, когда и поэтому в отдельном доказательстве не нуждается.
Докажем утверждение б). Для произвольного выберем номера и , соответственно, так, что ,
(вследствие (1) такие номера существуют). Но в силу свойства 4о абсолютной величины
7. Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
Лемма 1. Если , и , то существует такой номер , что .
Д о к а з а т е л ь с т в о разбирается на лекции.
Теорема 2 (о предельном переходе в неравенстве). Если каждая из последовательностей и сходится и , то
.
Д о к а з а т е л ь с т в о с учетом леммы 1 устанавливается от противного.
Замечание. Из того, что , и , в общем случае, следует только, что ,а не то, что .
Для этого достаточно рассмотреть, например, следующие последовательности и :