- •2. Понятие отображения, образ и прообраз мн-ва при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •3. Сюрьективные, инъективные и биективные отображения.
- •4. Аксиома нерерывности мн-ва вещественных чисел.
- •5.Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности.
- •7. Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •8. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной
- •9.Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •10.Число e.
- •11. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •12.Лемма о вложенных отрезках.
- •13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной
- •14 . Верхний и нижний пределы последовательности.
- •15.Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •16.Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •17.Критерий Коши существования предела функции.
- •18.Локальные свойства функций имеющих предел.
- •19.Теорема о пределе суперпозиции.
- •20.Односторонние пределы
- •21.Бесконечные пределы и пределы в бесконечности
- •22.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •22.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •23.Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •24.Замечательные пределы
- •25.Асимптоты графика функции
- •26.Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела
- •27.Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: ф-ия Дирихле и другие примеры
- •28.Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •29.Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши)
- •30.Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке ф-иях.
- •31. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции кнепрерывной и строго монотонной функции.
- •32.Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •33.Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •34.Арифметические операции с дифференцируемыми ф-иями.
- •35.Дифференцирование сложной функции
- •36.Дифференцирование обратной функции
- •37. Дифференцирование эл-тарных функций. Таблица производных.
- •38.Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •40.Производные и дифференциалы высших порядков.
- •41.Формула Тейлора для многочлена.
- •42. Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •43.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •44. Разложение эл-тарных функций по формуле Тейлора.
- •45.Правило Лопиталя.
- •46.Условия монотонности функции.
- •47.Условия экстремума функции.Необходимое условие локального экстремума доставляет теорема Ферма. Очевидно, она допускает следующее усиление.
- •48. Условия выпуклости функции.
- •49.Точки перегиба графика функции.
48. Условия выпуклости функции.
О 1. Ф-ия наз. выпуклой (соотв., вогнутой) на промежутке , если для любых и любых таких, что имеет место неравенство:
(соотв., ). (1)
При этом, если это неравенство явл. строгим при и , то ф-ия наз. строго выпуклой (строго вогнутой).
Лемма 1. Для того, чтобы ф-ия была выпуклой (строго выпуклой) на промежутке необходимо и достаточно, чтобы для любых таких, что , выполнялось неравенство
(соответственно, ) (2)
Теорема 1 (критерий выпуклости функции в терминах первой производной)
Для того, чтобы дифференцируемая на интервале ф-ия была выпуклой (строго выпуклой) на нем необходимо и достаточно, чтобы её производная была неубывающей (соответственно, возрастающей) на интервале функцией.интервале функцией.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть ф-ия явл. выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
Действительно, в силу леммы 1 имеем
Устремляя здесь сначала к , а затем к , в итоге получим: .
Откуда и следует (9).
Если же ф-ия - строго выпуклая на интервале , то для произвольно выбранных , , по лемме 1 будем иметь
Поэтому, с учетом установленной выше (нестрогой) монотонности производной , по теореме Лагранжа получим
,
где . Таким образом, строгая выпуклость функции влечет строгую монотонность ее производной , точнее гарантирует, что она явл. возрастающей на интервале функцией. Следовательно, необходимость доказана.
Докажем достаточность. Пусть производная функции неубывает (возрастает) на интервале . Докажем, что ф-ия явл. выпуклой (строго выпуклой).
Пусть Тогда по теореме Лагранжа:
,
где . Так как производная не убывает (возрастает) на интервале , то ( ), а значит, имеет место и неравенство (2), которое в силу леммы 1 и произвольности точек гарантирует выпуклость (строгую выпуклость) функции на □
49.Точки перегиба графика функции.
О 2. Пусть ф-ия определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Если существует такое , что на интервалах и ф-ия имеет разные направления выпуклости, т.е. на одном из них она выпукла, а на другом, напротив, вогнута, то точка ее графика наз. точкой перегиба.Если точка явл. точкой перегиба графика дважды дифференцируемой в точке функции , то в соответствии с Ом 2 и теоремой 1, а также ее аналогом для вогнутых функций, точка – точка локального экстремума производной и поэтому по теореме Ферма .
Таким образом, условие (10)
явл. необходимым для того, чтобы точка была точкой перегиба графика дважды дифференцируемой функции .
50.Мн-во вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
no1. Об основных понятиях. В нашем курсе понятие вещественного числа, а также ряд других связанных с ним понятий и некоторых относящихся к ним фактов предполагаются, в основном, известными из школьного курса математики. Освежить эти понятия можно, например, по книге А.М. Тер-Крикорова и М.И.Шабунина «Курс математического анализа».
Далее будут использоваться стандартные обозначения: