Задача 4.1.

Какие из приведенных ниже функций являются нелинейными по оцениваемым параметрам, а какие – нелинейными по включенным переменным:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

6. .

Параметры каких моделей можно оценить методом наименьших квадратов? Ответ обоснуйте.

Задача 4.2.

Оценка множественной линейной регрессии между расходами на жилищные услуги, располагаемым личным доходом и индексом относительных цен дает следующий результат:

Y = -43,4 + 0,181X + 0,137p+ ε.

Уравнение логарифмической регрессии по тем же исходным данным имеет вид:

lgY = -1,60 + 1,18 lgX - 0,34 lgp+ ε

Задание:

1. Запишите полученное уравнение регрессии в степенной форме.

2. Дайте интерпретацию параметров полученных уравнений.

Задача 4.3.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Y = 0,26 K^0,82 L^0,29 ε

Задание:

1. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

2. Как изменится объем производства при увеличении затрат капитала на 1%?

3. Чему равен коэффициент эластичности объема производства по затратам капитала?

4. Верно ли утверждение, что при увеличении затрат капитала и труда в 1,5 раза объем производства возрастет менее, чем в 1,5 раза?

Задача 4.4.

Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим уравнением:

R² = 0,96.

(0,41) (0,07) (0,22) F = 276,4

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

3. Что можно сказать об эффекте от масштаба производства?

Задача 5.1.

Как называются приведенные ниже модели:

1. y_t = -0,7y_t-1 + 0,3y_t-2 + ε_t;

2. y_t = ε_t + 0,5ε_t-1;

3. y_t = 0,4y_t-1 + ε_t - 0,2ε_t-1;

4. y_t = -0,5y_t-1 - 0,3y_t-2 + ε_t + 0,2ε_t-1;

5. y_t = 0,7y_t-1 -0,3y_t-2 - 0,1y_t-3 + ε_t;

Задача 5.2.

Временной ряд описывается следующей моделью:

y_t = 0,7y_t-1 + ε_t,

где ε_t - белый шум.

Задание:

1. Как называется полученная модель?

2. Является ли исходный временной ряд стационарным?

3. Рассчитайте значения автокорреляционной функции для лагов τ = 1, 2, 3.

4. Нарисуйте автокорреляционную и частную автокорреляционную функции временного ряда y_t.

Задача 5.3.

Ниже представлены графики автокорреляционной и частной автокорреляционной функций процесса:

Задание:

По представленным графикам сделайте предположение, какой моделью идентифицируется исследуемый временной ряд. Ответ обоснуйте.

Задача 5.4.

Ниже представлены графики автокорреляционной и частной автокорреляционной функций ряда первых разностей.

Задание:

По представленным графикам сделайте предположение, какой моделью идентифицируется исходный временной ряд. Ответ обоснуйте.

Задача 5.5.

Ряд первых разностей исходного нестационарного временного ряда описывается уравнением:

y_t = 0,4y_t-1 + ε_t - 0,2ε_t-1.

Задание:

Определите параметры p, k, q модели АРПСС(p,k,q), которой описывается исходный временной ряд.

Задача 5.6.

В приложении 1 представлены данные о курсе акций различных компаний:

Задание:

1. Идентифицируйте приведенные временные ряды.

2. Оцените параметры моделей АРПСС.

Задача 5.7.

Подберите соответствующие сезонные модели АРПСС для временных рядов, представленных в приложении 2.

Задача 5.9.

По ежемесячным данным изучается зависимость объема ВВП (Y, млрд. долл.) от уровня прибыли в экономике (Х_t, млрд. долл.). Получена следующая модель с распределенными лагами:

Y_t = -5 + 1,5∙X_t + 2∙X_t-1 + 4∙X_t-2 + 2,5∙X_t-3 + 2∙X_t-4 + ε_t.

(2,2) (2,3) (2,5) (2,3) (2,4)

В скобках указаны значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии. R² = 0,9.

Задание:

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дайте интерпретацию параметров модели: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

3. Определите величину среднего лага и медианного лага.

Задача 6.1.

По моделям АРПСС(p,k,q), полученным в задаче 5.6, постройте прогноз на 10 шагов вперед.

Задача 6.2.

По моделям АРПСС(p,k,q), полученным в задаче 5.7, постройте прогноз на 12 месяцев вперед.

Задача 6.3.

Для временного ряда Х₃ курса акций некоторой фирмы, представленного в приложении 4, рассчитайте экспоненциальную среднюю для различных значений параметра адаптации: 1) λ = 0,2; 2) λ = 0,6.

На одной диаграмме постройте графики исходного временного ряда и рядов экспоненциальных средних, полученных при λ = 0,2 и λ = 0,6. Какой ряд является более сглаженным и почему?

Задача 6.4.

В приложении 2 представлены данные о величине оборота розничной торговли (Х₂.

Задание:

1. С помощью визуального анализа определите, аддитивно или мультипликативно включена сезонная компонента.

2. Проверьте сделанный вывод, рассчитав прогнозные значения на двенадцать точек вперед с использованием моделей Хольта-Уинтерса и Тейла-Вейджа.

3. Сравните точность полученных прогнозов.

Задача 7.1.

Дана следующая система одновременных уравнений из двух уравнений:

Задание:

1. Запишите приведенную форму модели.

2. Покажите, что коэффициенты приведенной формы являются нелинейными комбинациями структурных коэффициентов модели.

Задача 7.2.

Дана следующая система одновременных уравнений из двух уравнений:

Задание:

1. Проверьте идентифицируемость каждого уравнения системы по необходимому и достаточному условиям. Сделайте вывод.

Задача 7.3.

Система одновременных регрессионных уравнений состоит из трех уравнений: сверхидентифицируемого, неидентифицируемого и идентифицируемого. Тогда модель является:

а) идентифицируемой;

б) неидентифицируемой;

в) сверхидентифицируемой.

Задача 7.4.

Система одновременных регрессионных уравнений содержит 3 эндогенные и 4 экзогенные переменные. Первое уравнение системы включает 2 эндогенные и 2 экзогенные переменные. Тогда можно утверждать, что:

а) первое уравнение идентифицируемо по необходимому условию;

б) первое уравнение идентифицируемо по достаточному условию;

в) первое уравнение сверхидентифицируемо по необходимому условию;

г) первое уравнение неидентифицируемо по необходимому условию.

Задача 7.5.

Структурная форма модели спроса-предложения имеет вид:

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение системы на идентифицируемость по необходимому и достаточному условиям. Сделайте вывод.

2. Запишите приведенную форму модели.

Задача 8.1.

Двухшаговый метод наименьших квадратов можно применять для системы, состоящей из:

а) трех сверхидентифицируемых уравнений;

б) идентифицируемого, сверхидентифицируемого и неидентифицируемого уравнений;

в) трех идентифицируемых уравнений;

г) идентифицируемого и двух сверхидентифицируемых уравнений.

Задача 8.2.

Дана следующая система одновременных уравнений из двух уравнений:

Задание:

1. По результатам проверки системы на идентифицируемость сделайте вывод, каким методом следует оценивать параметры модели.

2. Изложите сему оценки параметров второго уравнения системы.

Задача 8.3.

Одна из модификаций модели спроса-предложения имеет вид:

где: Q^d_t – объем спроса на товар в период t,

Q^s_t – объем предложения товара в период t,

P_t – цена товара в период t,

P_t-1 – цена товара в период t-1,

I_t – доход в период t,

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Выразите структурные коэффициенты модели через приведенные.