Тема 8. Дискретные случайные величины (дсв) (3 ч.)

§ 1. Понятие и виды случайной величины

О. 1. Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять любое заранее не известное значение из множества всевозможных значений.

Пример 1.

1) Число мальчиков среди ста новорожденных детей есть случайная величина, которая может принимать значения от 0 до 100.

2) Расстояние, которое пролетит снаряд после выстрела, есть случайная величина значения, которой могут быть указаны интервалом .

Обозначаются случайные величины прописными буквами , а их возможные значения строчными .

Различают случайные величины двух видов: дискретные и непрерывные.

О. 2. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, возможные значения которой представляют собой множество изолированных фиксированных величин (ДСВ).

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть как конечным, так и бесконечным.

О. 3. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Число возможных значений непрерывной случайной величины является бесконечным.

Пример 2. В примере 1: 1) дискретная величина;

2) непрерывная величина.

Для того чтобы ДСВ была задана, не достаточно перечислить множество ее всевозможных значений, потому что две ДСВ могут иметь одинаковый перечень возможных значений, а вероятности принятия этих значений будут различными.

О. 1. Законом распределения вероятностей (рядом распределения) ДСВ называется последовательность возможных значений дискретной случайной величины и соответствующих им вероятностей.

Закон распределения вероятностей может быть задан:

1) Таблично, при этом первая строка в таблице содержит возможные значения ДСВ, а вторая – их вероятности:

X			…….
P			……

2) Графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Т. к. в одном испытании ДСВ может принять только одно значение, то множество ее всевозможных значений образует полную группу событий и сумма их вероятностей равна единице: .

§ 2. Числовые характеристики дсв

Как уже было сказано, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно, так называемыми числовыми характеристиками.

О. 1. Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений возможных значений величины на соответствующие вероятности, т. е.

.

Вероятностный смысл : математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства :

Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений;

Если , то .

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: ;

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: ;

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.

О. 2. Отклонением случайной величины называется величина вида: .

Теорема 1. Математическое ожидание отклонения случайной величины равно нулю, т. е. .

О. 3. Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины , т. е.

.

Вероятностный смысл : дисперсия ДСВ характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания (в квадратных единицах).

Свойства :

Всегда ;

Если , то ;

,где ;

Дисперсия суммы и разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Правило вычисления дисперсии:

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

.

О.4. Средним квадратическим отклонением (сигма) ДСВ называют квадратный корень из дисперсии:

.

Вероятностный смысл : среднее квадратическое отклонение ДСВ имеет тот же вероятностный смысл, что и дисперсия, с той лишь разницей, что измеряется в тех же единицах, что и сама величина .

Пример 1. Пусть заданы два ряда распределения ДСВ и :

	2	3	10	5
	0,1	0,4	0,2	0,3

	4	5	7
	0,2	0,6	0,2

Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Решение:

;

;

;

;

;

;

;

.