Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4629 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"
Предмет:
Математический анализ
Файл:

Математический анализ определенный интеграл, несобственный интеграл, приложения определенного интеграла

.pdf
Скачиваний:
124
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
3.1 Mб
Скачать
☆

При пространственном расположении материальных точек статический момент Sx относительно оси Ox не рассматривают, ибо нет никаких разумных ос-

нований приписать их расстояниям d от оси Ox те или иные знаки. Определение. Статическим моментом системы материальных точек

M1, M2 , K, Mn относительно оси Ox называют сумму статических моментов

n

всех точек этой системы относительно оси Ox, т.е. величину Sx = ∑mk yk .

k=1

Совершенно аналогично определяется статический момент системы материальных точек относительно оси Oy:

 

n

 

Sy = ∑mk xk .

 

k=1

Здесь xk

– абсцисса точки Mk в системе координат Oxy. Статические моменты

Sx и Sy

системы материальных точек позволяют установить положение центра

масс C(xC , yC ) этой системы. Точка C(xC , yC ) обладает тем свойством, что ес-

ли в ней сосредоточить всю массу системы, то момент этой массы относительно любой оси совпадает с моментом системы относительно этой оси, т.е.

 

 

 

 

n

 

 

 

Sx

 

 

 

 

 

yC ,

=

∑mk

Поэтому

 

k=1

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑mk xk

x

C

=

k=1

 

 

,

n

 

 

 

 

 

 

∑mk

k=1

 

 

 

n

 

 

 

Sy

 

 

 

xC .

=

∑mk

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

∑mk yk

y

C

=

k=1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

∑mk

 

 

k=1

y

 

Пусть теперь речь идет не о дискретных

B

материальных точках, а о непрерывной ма-

 

 

 

териальной кривой AB переменной плот-

 

P

ности, расположенной в плоскости Oxy.

A

Будем предполагать кривую спрямляемой,

 

а координаты x и y ее переменной точки P

 

 

и линейную плотность распределения мас-

sсы µ в этой точке заданными как функции x длины s дуги AP. Точке A отвечает значе-

O

ние s = 0 ;

точке B – значение s = l

(l –

Рис. 3.53. К определению

длина всей кривой AB).

 

статических моментов кривой

Найдем

статические моменты

этой

относительно координатных осей

кривой относительно координатных осей.

 

Для этого

разобьем промежуток [0, l] с

151

помощью значений

0 = s0 < s1 < s2 <K< sn−1 < sn = l

на столь малые части ∆sk , чтобы в пределах каждой части линейную плотность

 

 

~

µ(s) можно было считать приближенно постоянной величиной, равной µ( sk ) ,

~

– любая точка из промежутка [sk , sk+1]. Масса ∆mk каждой частичной

где sk

дуги

∆sk [=(sk+1 − sk ), k = 0,1, 2, K, n −1]

будет приближенно равна:

~

Сосредоточим всю массу каждой частичной дуги в точке

∆mk ≈ µ( sk ) ∆sk .

~ ~

~

(xk , yk ) , отвечающей значению s = sk . В результате получим систему из n мате-

риальных точек. Статические моменты этой системы относительно осей Ox и Oy будут соответственно такими:

n−1

~

n−1

~

∑

 

∆mk yk = ∑

µ( sk

k=0

 

k=0

 

n−1

~

n−1

~

∑

 

∆mk xk = ∑

µ( sk

k=0

 

k=0

 

~ ∆

) y ( sk ) sk ,

(1)

~ ∆

)x ( sk ) sk .

Видим, что правые части равенств (1) представляют собой интегральные суммы Римана для функций µ(s) y (s), µ(s) x (s) . Эти суммы дают приближенное

значение для статических моментов материальной кривой AB относительно координатных осей. Точное выражение для этих моментов кривой мы получим, переходя в (1) к пределу при λ = max ∆sk → 0 . Будем иметь

l

l

Sx = ∫µ(s) y (s) ds,

Sy = ∫µ(s) x (s) ds .

0

0

Статические моменты Sx и Sy кривой позволяют установить положение центра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

масс C(xC , yC ) кривой. Так как масса m кривой AB равна

∫µ(s) ds и так как

Sx = m yC , Sy = m xC , то получаем

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

∫µ(s) x (s) ds

 

 

 

 

∫µ(s) y (s) ds

 

 

x

C

=

0

,

y

C

=

0

.

(2)

l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫µ(s) ds

 

 

 

 

∫µ(s) ds

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

В случае, когда кривая AB – однородная, т.е. µ ≡ const , формулы (2) принимают вид

152

 

 

 

l

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

∫x ds

 

 

 

 

∫y ds

 

~

x

 

 

0

 

y

 

 

0

 

 

C

=

,

C

=

 

.

( 2)

l

 

l

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из выражения для yC в ( 2) находим

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l yC = ∫y ds .

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Умножим обе части последнего равенства на 2π. Будем иметь

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

2πyC l = 2π∫y ds .

 

 

(3)

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Если кривая AB лежит выше оси Ox, т.е.

 

y ≥ 0 ,

то правая часть равенства (3)

есть площадь поверхности, полученной от вращения кривой AB вокруг оси Ox. В левой части равенства (3) множитель 2πyC есть длина окружности, которую

описывает центр масс кривой при вращении ее вокруг оси Ox, l – длина кривой

AB.

Таким образом, мы приходим к следующему утверждению.

Величина площади поверхности, полученной от вращения дуги плоской кривой вокруг не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости дуги, равна длине дуги этой кривой, умноженной на длину окружности, описываемой центром масс дуги кривой.

(Это есть так называемая первая теорема Гульдена).

Пример 1. Найти центр масс полуокружности радиуса R.

Имеем l = πR . Площадь поверхности вращения s = 4πR2 . Следовательно, yC = 2πS l = 24ππRπ2R = 2πR .

xC = 0 , ибо если кривая симметрична относительно некоторой прямой, то центр масс кривой лежит на этой прямой.

y

 

Рассмотрим теперь плоскую

фигуру

 

 

ABCD, ограниченную снизу непрерывной

 

 

кривой

y = f1(x) ,

x [a, b], сверху непре-

 

 

рывной

кривой

y = f2 ( x),

x [a, b], а с

 

 

боков

отрезками

прямых

x = a ,

x = b

O

x

( f1(x) ≤ f2 (x) , x [a, b]; a < b ). Предпола-

R

гаем, что эта фигура однородная, т.е. по-

 

 

верхностная плотность

распределения

 

 

Рис. 3.54. К определению центра масс

массы ρ= const .

 

 

 

полуокружности

 

 

 

 

 

 

153

 

 

 

Разделим промежуток [a, b]

 

на части точками a = x0 < x1 < x2 <K< xn = b и

рассмотрим ступенчатую фигуру, со-

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ставленную из прямоугольников с осно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

ванием

∆xk

= xk+1 − xk

 

и

 

 

 

высотой

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2 (xk+1 ) − f1(xk+1 )

( k = 0,1, 2, K, n −1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Масса ∆mk каждого такого прямо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

угольника будет равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆mk =ρ[f2 (xk+1 ) − f1(xk+1 )] ∆xk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сосредоточим всю массу такого прямо-

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

B

x

угольника в его центре масс (центр масс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямоугольника лежит в точке пересе-

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

чения

его

 

диагоналей),

т.е.

 

в

 

точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.55. К определению центра масс

(xk

, yk ) , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

−

( xk+1 − xk )

 

= xk+1 −

 

∆xk

,

 

 

 

 

 

 

 

плоской фигуры

 

 

 

 

 

 

xk = xk+1

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

f

2 ( xk+1 ) − f1( xk+1 )

=

f1(xk+1 ) + f2

( xk+1 )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yk = f1( xk+1 ) +

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Тогда статические моменты ступенчатой фигуры относительно осей Ox и Oy

будут равны соответственно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

=

n−1

 

 

~

= ρ

 

1 n−1

 

f

2

 

 

 

 

 

 

2

+1 )

 

∆xk ,

 

 

 

 

 

 

 

 

Sx

∑

∆mk yk

2

 

∑[

2

( xk+1 ) − f1 ( xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

~

 

 

n−1

 

 

~

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

∑

 

 

= ρ

 

∑[

f

 

(x

 

 

)

− f ( x

)

 

 

−

 

 

.

 

 

 

 

 

S

y

∆m x

k

2

k+1

x

k+1

 

∆x

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

k+1 ]

 

 

2

 

 

 

~

 

~

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фи-

Sx

 

и Sy дают приближенные значения для статических моментов Sx и Sy

гуры ABCD относительно осей Ox и Oy соответственно. Точные выражения для

Sx

 

и Sy получим, переходя в равенствах (4) к пределу при λ = max ∆xk → 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

представляет собой интегральную сумму Ри-

Замечаем, что выражение для Sx

мана

для

 

 

функции

 

 

 

ρ2 [f22 (x) − f12 ( x)]

в

[a, b].

 

Поскольку

 

f1(x)

и

f

2

(x) C [a, b] , то

ρ

f

2 (x) − f

 

2 ( x)

R [a, b] и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

)

 

2 [

2

 

 

 

 

1

 

 

 

]

 

 

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

~

=

ρ b

f

2 ( x) − f 2 ( x) dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

= lim S

x

2 ∫[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ→0

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перепишем в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение для Sy

 

 

 

 

ρ n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sy = ρ ∑xk+1 [f2 ( xk+1 ) − f1( xk+1 )]∆xk − 2

∑[f2 ( xk+1 ) − f1( xk+1 )] (∆xk )2 .

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

154

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь первая сумма в правой части представляет собой интегральную сумму

Римана

 

 

для

 

]

 

функции

 

 

ρx [f2 (x) − f1( x)]

 

 

 

в

 

[a, b].

 

 

Поскольку

ρx

[

f

2

 

 

 

1

 

 

 

 

(

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x) − f ( x)

 

 

C [a, b] , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim ρ∑xk+1 [f2 ( xk+1 ) − f1( xk+1 )] ∆xk

 

= ρ∫x [f2 ( x) − f1(x)]dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

λ→0

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стремится к ну-

Покажем, что вторая сумма в правой части выражения для Sy

лю при λ → 0 . Действительно, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ2

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑[f2 ( xk+1 ) − f1(xk+1 )] (∆xk )2

≤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

(∆x )2 ≤ λρ n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

≤

 

f ( x

 

) − f (x

)

 

 

 

 

 

f ( x

 

 

 

) − f ( x

 

 

)

 

∆x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

∑

 

 

2 k+1

 

 

 

 

 

1 k+1

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

2

∑

 

 

 

 

 

2

 

k+1

 

1 k+1

 

 

k

 

Поскольку

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

∑

 

f2 (xk+1 ) − f1( xk+1 )

 

∆xk

= ∫

 

 

f2 (x) − f1(x)

 

 

 

dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ→0 k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

−1

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ибо

 

f

 

 

( x) − f ( x)

 

C [a, b] ,

то

 

lim

λρ

f

 

(x

 

 

 

 

 

 

 

) − f ( x

 

)

 

∆x

 

= 0 , а, следо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

)

 

 

λ→0

 

2

 

 

∑

 

 

2

 

 

k+1

 

1

 

k+1

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вательно, и λ→lim0

∑[f2 (xk+1 ) − f1(xk+1 )] (∆xk )2 = 0 . А тогда будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

= ρ

∫

x

f

 

 

(x) − f ( x) dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= lim S

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По статическим моментам Sx

и Sy легко найти теперь координаты центра масс

(xC , yC ) фигуры ABCD. Обозначим через m массу фигуры ABCD. Ясно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m =ρ ∫[f2 (x) − f1(x)]dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По основному свойству центра масс имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m xC = Sy ;

 

 

 

 

 

m yC = Sx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sy

 

 

 

∫x[f2 ( x) − f1( x)]dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sx

 

 

 

 

 

 

∫[f22 (x) − f12 (x)]dx

 

 

 

 

 

xC

=

 

=

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

yC =

 

 

 

=

1 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. (5)

 

 

 

 

 

 

m

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

2

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

[f2 ( x) − f1( x)]dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫[f2 ( x) − f1( x)]dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

155

В частности, если фигура ABCD есть криволинейная трапеция, ограниченная

снизу осью Ox, сверху графиком функции

y = f (x) ,

x [a, b], а с боков отрез-

ками прямых

x = a ,

 

x = b

( a < b ),

то,

полагая в

формулах (5)

f1(x) ≡ 0 ,

f2 (x) ≡ f (x),

x [a, b], получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

∫x f (x) dx

 

 

= 1

∫ f 2 (x) dx

 

 

x

C

=

a

 

;

y

C

a

 

.

(6)

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 b

 

 

 

 

 

 

 

∫ f ( x) dx

 

 

 

∫ f ( x) dx

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

Из формулы для yC в (6) находим

 

 

 

 

 

 

 

b b

2 yC ∫ f (x) dx = ∫ f 2 ( x) dx ,

a a

или, умножив обе части последнего равенства на π,

b

b

 

2πyC ∫ f (x) dx = π∫ f 2 (x) dx .

(7)

a

a

 

Правая часть равенства (7) выражает объем V тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси Ox. В левой части равенства (7) множитель 2πyC есть длина окружности, которую описывает центр масс криволинейной

b

трапеции при вращении ее вокруг оси Ox; множитель ∫ f (x) dx есть площадь S

a

криволинейной трапеции. Таким образом, мы приходим ко второй теореме

Гульдена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

Объем тела,

образованного

вращением

 

плоской фигуры вокруг не пересекающей ее

 

 

оси, расположенной в плоскости фигуры, ра-

 

 

вен произведению площади S этой фигуры

 

 

на длину окружности, описываемой центром

O

x

масс этой фигуры. Заметим, что если плоская

R

фигура имеет ось симметрии, то центр масс

 

фигуры лежит на этой оси.

 

 

 

 

 

Рис. 3.56. К определению центра

 

Пример

2.

Найти координаты центра

масс полукруга радиуса R.

 

 

 

 

 

 

масс полукруга

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем S =

πR2 ; V =

4

πR3 ; V = S 2πy

C

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

y

C

=

V

= 4

 

πR3 2

 

=

4R ,

x

C

= 0 , ибо фигура симметрична относительно

2πS

πR2 2π

 

 

 

3

 

 

3π

 

 

 

 

 

оси Oy.

156

Литература

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления,

т.2. – М.: Физматгиз, 1959.

2.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 1. – М.: Высшая школа, 1981.

3.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. 1. – М.: Наука, 1971.

157

Оглавление

 

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .............................................................

3

§1. Понятие определенного интеграла.............................................................

3

§2. Признаки интегрируемости функций.........................................................

9

§3. Классы интегрируемых функций..............................................................

18

§4. Действия над интегрируемыми функциями............................................

23

§5. Свойства определенного интеграла..........................................................

27

§6. Некоторые неравенства для определенных интегралов.........................

31

§7. Обобщенная теорема о среднем значении для определенного

 

интеграла ..................................................................................................

36

§8. Определенный интеграл как функция своего верхнего (нижнего)

 

предела......................................................................................................

40

§9. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона –

 

Лейбница) .................................................................................................

45

§10. Интегрирование по частям......................................................................

47

§11. Замена переменных в определенных интегралах..................................

49

§12. Применение теории определенных интегралов к вычислению

 

некоторых пределов ................................................................................

53

ГЛАВА 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ......................................................

55

§1. Несобственный интеграл от ограниченной функции, не

 

определенной в нескольких точках .......................................................

55

§2. Несобственные интегралы 2-го рода (или несобственные

 

интегралы от неограниченных функций)..............................................

57

§3. Признаки сходимости несобственных интегралов 2-го рода................

59

§4. Общий признак сходимости несобственного интеграла 2-го рода.......

70

§5. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы 2-го рода...............

71

§6. Несобственные интегралы 1-го рода (или несобственные

 

интегралы по бесконечному промежутку)............................................

73

§7. Признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода................

76

§8. Общий признак сходимости несобственного интеграла 1-го рода.......

85

§9. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы 1-го рода...............

86

§10. Признак Абеля – Дирихле.......................................................................

88

§11. Основная формула интегрального исчисления для несобственных

 

интегралов................................................................................................

92

§12. Интегрирование по частям несобственных интегралов.......................

94

§13. Замена переменной интегрирования в несобственных интегралах....

96

Примеры к главе 2 ............................................................................................

96

ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА........................

104

§1. Вычисление площадей плоских фигур ..................................................

104

§2. Вычисление длины кривой......................................................................

113

§3. Площадь поверхности вращения..................................................................

 

§4. Вычисление объемов тел.........................................................................

131

§5. Вычисление статических моментов и координат центра масс

 

плоских кривых и плоских фигур........................................................

149

158

Литература...............................................................................................................

156

159

Аксёнов Анатолий Петрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (Определенный интеграл. Несобственные интегралы.

Приложения определенного интеграла)

Учебное пособие

Лицензия ЛР № 065394 от 08.09.97

Подписано в печать . .99. Формат 60×84

1/16.

Объем п.л. Тираж

. Заказ № .

 

Отпечатано в издательстве «НЕСТОР» 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29

Соседние файлы в предмете Математический анализ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности