Шпаргалка на ряды и разные интегралы

Опр: Числовым рядом называется символ ^_n=1 a_n(1). Символ определяет, если мы знаем все a_n при n.

Опр: Частичной суммой S_k ряда (1) называется выражение: S_k=a₁+…+a_k, по опр S₁=a₁.

Опр: Говорят, что ряд (1) сходится, если последовательность частичных сумм S_k имеет конечный предел {S_k}^_k=1; если последовательность S_k не имеет конечного предела, то говорят, что ряд (1) расходится.

Утв: для того чтобы сходился ряд (1) необходимо и достаточно, чтобы сходился любой из его остатков; в случае если ряд (1) сходится и S его сумма, а _m – сумма m-того остатка, то справедлива формула: S=S_m+_m

Утв: если ряд (1) сходится к сумме S , то ряд ^_n=1 ca_n, тоже сходится к сумме cS: ^_n=1 ca_n =cS

Утв: Пусть ^_n=1 a_n=S, ^_n=1 b_n=T, тогда сумма ряда ^_n=1 (a_n+b_n)=S+T

Утв: Необходимы признак сходимости ряда: Имеется ряд (1) и он сходится => a_n0 при n.

Утв: Для того чтобы ряд ^_n=1 a_n : a_n>0 сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

Зам: Для рядов со слагаемыми произвольных знаков это утверждение не верно.

Признак сравнения сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми.

Пусть есть ряд ^_n=1 a_n : a_n>0 (9) и ряд ^_n=1 b_n : b_n>0 (10) Пусть c>0 и a_n<cb_n и предположим, что ряд (10) сходится к сумме Т, тогда ряд (9) тоже сходится и для его суммы S справедливо S<cT

Утв: Пусть есть (9) и (10) предположим, что имеется c₁>0 : b_n>c₁a_n для любых n, предположим, что ряд (9) расходится, тогда ряд (10), тоже расходится.

Утв: a_n L ; b_n L при n   ; L0, тогда ряды (9) и (10) сходятся и расходятся одновременно.

Опр: Мы имеем функцию f определенную на [a; +), тогда несобственным интегралом называется символ (1). Предположим, что функция интегрируема по Риману на промежутке [a,b] при b>a.

Опр: сходимости не собственного интеграла, говорят, что несобственный интеграл (1) сходится, если существует конечный предел limS(b)=S при b (3) S(b)= с переменным верхним пределом. Тогда он равен S и записывается (1)=S

Критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции.

Длятого чтобы несобственный интеграл (1) где f(x)>0 на промежутке a;+  интегрируема на [a,b] сходился необходимо и достаточно, чтобы функция S(b) была бы ограничена на всем промежутке a;+ 

Признак сравнения сходимости для несобственных интегралов от неотрицательных функций:

1. f,g>0 и интегрируемы на всем промежутке [a,b] при b>a, c>0 f(x)>cg(x) для всех x, тогда если - cходится, то и сходится.

2. Пусть есть t>0, g(x)>tf(x) , для всех x, тогда если - расходится, то и расходится.

Признак Деламбера

Пусть имеется ряд ^_n=1 a_n : a_n>0 (6) и существует предел , тогда если l<1, то ряд сходится, если l>1, то расходится. Если l=1, то признак ответа не дает.

Признак Коши.

Пусть есть ряд (6) и существует предел , тогда если l<1, то ряд сходится, если l>1, то расходится. Если l=1, то признак ответа не дает.

Интегральный признак сходимости рядов.

f(x)>0 [1, ) ; x₁<x₂ => f(x₁)<f(x₂) – монотонная, тогда ряд ^_n=1 f(n) (1)и интеграл (2)сходятся или расходятся одновременно. a_n=f(n)

Утв: Схождение ряда (1) влечет схождение интеграла (2)

Утв: Если сходится интеграл (2) то сходится ряд (1)

Напоминание критерия Коши для последовательности. Пусть имеется {S_n}^_n=1 и она имеет конечный предел, ттогда, когда >0  N m>N, n>N |S_n-S_m|<

Опр: Ряд ^_n=1 a_n называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ^_n=1 |a_n|.

Теор: Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

Признак Лейбница, сходимости знакопеременных рядов. Пусть имеется ряд ^_n=1 (-1)^n-1 b_n, есть b_n 0 при n   и доспусти, что b_n убывает, b_n>b_n+1, n, тогда ряд сходится (необязательно абсолютно).

Признак Абеля.

Пусть есть ряд ^_n=1 a_nb_n (1) в ряде (1) c_n=a_nb_n – произведение неких чисел, предположим, что ^_n=1 а_n – сходится, а b_n - ограничена и монотонна, тогда ряд (1) тоже сходится.

Признак Дирихле.

Рассмотрим ряд (1), предположим, что M>0: N справедливо |^_n=1 а_n|<M (2), предположим, что b_n0 при n, b_n – монотонна, тогда ряд (1) сходится.

Опр: Пусть есть некое непустое множество ER, E0, функциональной последовательностью называется последовательность {V_n(x)}^_n=1(5) , где V₁(x), V₂(x) …, являются функциями определенными на Е.

Опр: Функциональным рядом называется ^_n=1 U_n(x) (6), где U₁(x), U₂(x) …, являются функциями определенными на Е.

Опр: Частичной суммой функционального ряда (6) называется S_N(x)=^N_n=1 U_n(x) (7)

Опр: Множества сходимости функциональной последовательности и функционального ряда.

Имеется X₀E, говорят, что () X₀ называется точкой сходимости функциональной последовательности (5), если обычная числовая последовательность {U_n(X₀)}^_n=1 – сходится.

Если ряд ^_n=1 U_n(x₀) сходится, то точка Х₀ называется точкой сходимости функционального ряда. (6)

Если у функциональной последовательности нет точек сходимости, то говорят, что множество сходимости функциональной последовательности пусто.

Если у функционального ряда нет точек сходимости, то говорят, что множество сходимости функционального ряда пусто.

Если для функциональной последовательности существуют точки сходимости, то по определению, множество сходимости, состоит из всех точек сходимости.

Если для функционального ряда существуют точки сходимости, то по определению, множество сходимости, состоит из всех точек сходимости.

GE, G0 – множество сходимости, по определению множества сходимости мы можем для х₀G определить V(x₀)= (8)

Равномерная сходимость.

Опр: Пусть есть функциональная последовательность (5), определенная на множестве Е и все множество Е является множеством сходимости функциональной последовательности. (5) и пусть функция V(x) определена равенством (8). Говорят, что V_n(x) равномерно стремится к V(x) при n при xЕ, если для >0  N не зависящее от х : n>N и для хЕ выполняется соотношение |Vn(x)-V(x)|<

Говорят, что ряд (6) равномерно сходится при xЕ если функциональная последовательность S_n(x), определенная в (7) равномерно сходится при xЕ, где S(x)=^_n=1 U_n(x).

Критерий Коши для равномерной сходимости последовательностей.

Теор: Пусть имеется функциональная последовательность {U_n(X₀)}^_n=1 определенная на Е, для которой Е является множеством сходимости. Для того, чтобы эта последовательность равномерно сходилась к своему пределу при n и xЕ необходимо и достаточно, чтобы >0 N, не зависящее от x : m>N, n>N хЕ выполняется соотношение |Vm(x)-Vn(x)|<

Критерий Коши для функциональных рядов

Теор: Для того, чтобы функциональный ряд (6) сходился равномерно на Е( при хЕ ) необходимо и достаточно, чтобы для >0 N, не зависящее от x : m>n>N и хЕ выполняется соотношение |^m_k=n+1 U_n(x)|<

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

^_n=1 U_n(x), определенный на Е, C_n>0 |U_n(x)|<C_n xЕ,^_n=1 C_n(x) – сходится, тогда ряд (6) сходится равномерно на Е.

Утв: Функциональная последовательность U_n(x)=xⁿ не стремится к h(x)={0, 0<x<1; 1, x=1} при n равномерно на x[0,1].

Основные утверждения о равномерно сходящейся последовательности и рядах.

Теор1:U_n(x) непрерывна на [a,b] n=1,2… и U_n(x)U(x) при n, тогда U(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a,b].

След: Рассмотрим функциональный ряд ^_n=1 U_n(x). U_n(x) непрерывна на [a,b] и предположим, что ряд равномерно сходится на [a,b], тогда его сумма является непрерывной функцией на [a,b].

Теор2: Пусть U_n(x) интегрируемы по Риману на [a,b] допустим, что U_n(x)U(x) при n (9) равномерно сходится по х, тогда предельная функция U(x) тоже интегрируема по Риману.

След: Имеется ^_n=1 U_n(x), каждая функция интегрируема на [a,b] и равномерно сходится к S(x), тогда ряд .

Теор3: Пусть функции U_n(x) непрерывны на [a,b] и U`<sub>n</sub>(x) тоже непрерывны на [a,b]. Предположим, что [a,b] является множеством сходимости для U<sub>n</sub>(x): х[a,b] U<sub>n</sub>(x)U(x) при n, предположим, что существует V(x) : U`_n(x) V(x) при n, тогда U`(x) дифференцируема на [a,b] и U`(x)=V(x).

След: Допустим, что мы имеем функциональный ряд ^_n=1 _n(x), _n определена и непрерывна на [a,b], n `<sub>n</sub>(x) непрерывны на [a,b], `_n сходится в каждой точке на [a,b] и его сумму обозначим S(x). Предположим, что ^_n=1 _n(x) равномерно сходится к V(x) при x[a,b], тогда S(x) дифференцируемы на (a,b) и справедливо S`(x)=V(x) x(a,b).

Опр: Степенным рядом называется функциональный ряд, который имеет следующий вид a₀ + ^_n=1 a_nxⁿ (8). Е – множество сходимости, никогда не пусто.

Опр: Степенным рядом по степеням X-C (с центром в точке C) называется функциональный ряд, который имеет следующий вид a₀ + ^_n=1 a_n (x-c)ⁿ (9). E_с – множество сходимости

Утв: Между множествами Е и Е_с имеется соотношение: точка х₀Е <=> x₀+cЕ_с (10). X₁=x₀+c

Теор: Абеля Пусть степенной ряд (8) сходится для некоторого х₀0, тогда 1) Ряд сходится для всех х, которые |x|<|x₀|. 2) Фиксированое 0<r<|x₀|, степенной ряд (8), равномерно сходится на промежутке: -r<x<r. 3) Пусть k>1, U_n(x)=(a_nxⁿ)^(k), тогда ^_n=1U_n равномерно сходится при –r<x<r.

Опр: Пусть имеется степенной ряд (8). Рассмотрим три возможные ситуации:1) Ряд (8) расходится при x0, тогда по определению полагаем, что радиус сходимости =0; 2) Ряд (8) сходится при x, тогда по определению полагаем, что радиус сходимости =+; 3) Существует х₀0 : ряд (8) сходится при х₀ и существует х₁0 : ряд (8) расходится при х₁, тогда определим радиус сходимости следующим образом: =sup{|x|:(8) сходится при х}

0<|x₀|< расходится при х₁, значит расходится и при y, |y|>|x₁| (т.к. в противном случае по т. Абеля 0<|x₀|<<|x₁|

Теор: О радиусе сходимости степенного ряда. Пусть имеется ряд (8) и >0 (т.е. может быть +), тогда ряд (2) равномерно сходится на [-r,r] : 0<r<.

Теор: Имеется степенной ряд (8), рассмотрим выражение , тогда если b=+, то =0; если b=0, то =+; если >b>0, то =1/b.

Теор2: a_n0, n>1 и существует

Утв: После сопоставления ряду a₀ + ^_n=1 a_n (x-c)ⁿ(10) соответствующего ряда a₀ + ^_n=1 a_n yⁿ, мы получаем существование такого , являющегося неотрицательным числом или +, которое определяется как радиус сходимости ряда a₀ + ^_n=1 a_n yⁿ? Что в случае >0 ряд (10) равномерно сходится на всяком замкнутом промежутке [c-r,c+r], где r< и ряд (10) можно почленно дифференцировать на этом промежутке количество раз. При этом промежуток (с-, c+) называется промежутком сходимости ряда (10). Если сумма ряда (10) S(x) и х(с-,c+), то применение формулы a_k=S^(k)(0)/k! Показывает, что a_k=S^(k)(с)/k!(11) И т.о. если мы учтем, что S(c)=a₀ (10) и (11) дают S(x)=S(c)+^_k=1 (S^(k)(с)/k!) (x-c)^k

Представление функций рядами Тейлора:

Теор: Пусть функция f определена и непрерывна на интервале (c-, c+), >0. Предположим, что на этом интервале f имеет производную любого порядка, причем предположим, что существуют простые b_n>0, такие что ряд ^_n=1 b_n сходится и обладает тем свойством, что для х(c-,c+) и для n выполняется соотношение: |f⁽ⁿ⁾(x)|<(n!/!)b_n, в таком случае при рассмотрении ряда с центром в точке С, f(c)+^_n=1 (f⁽ⁿ⁾(с)/n!) (x-c)ⁿ=f(x)

Примеры: e^x, sin(x)

Двойные интегралы:

Опр: Площади для некоторого класса плоских фигур. Если имеется квадрат на плоскости со стороной h, то его площать по определению =h². R_h – разбиение плоскости на квадраты со стороной h. Пусть граница фигуры G состоит из кусочно-гладких кривых.

G_h^ - объединение всех квадратов из совокупности R_h, которые целиком содержатся в фигуре G.

G_h^ - объединение всех квадратов из совокупности R_h, которые пересекаются с фигурой G (даже по 1 точке).

m⁺(h) – количество квадратов, которые содержатся во множестве G⁺

m^-(h) – количество квадратов, которые содержатся во множестве G^

Существуют пределы lim_h+0 m⁺(h)h²= lim_h+0 m^(h)h² (7)

Если посмотреть на, то что под пределом, то там целые числа, которые являются площадями G⁺_h и G^_h.

Опр: Площадью фигуры G будем называть общую величину пределов в соотношении (7).

Имеется GR² ограниченное множество. Будем считать, что замкнутое и ограниченное конечным число кривых, которые являются кусочно гладкие. Разбиение G мы будем называть представление G в виде объединения множеств G=ⁿ_i=1G_i (8), где каждое G_i – ограниченное конечным числом кусочно-гладких кривых и множество внутренних точек, G_i объединение внутренних точек. G_k=0 (9), если ik (м. Пересекаться только погранице)

(8) и (9)=> площадь G=^h_i=1 пл. G_i.

Если мы имеем  функцию f определенную на G, то интегральной суммой для функции f, соответствующей разбиению {G_i}ⁿ_i=1 и называется выражение (f,{G_i},{M_i})=ⁿ_i=1f(M_i) пл G_i (11)

Опр: Пусть имеется плоская фигура G и мы имеем ее разбиение G=ⁿ_i=1G_i, тогда диаметр diam G_i=sup|MN| MN – длина отрезка MN.

Рангом разбиения G_i будем называть r({G_i}ⁿ_i=1)=max(diam G_i) 1<i<n.

Понятие двойного интеграла. Пусть имеется ограниченное множество G на плоскость, границы которой состоят из кусочно-гладких кривых. f определена на G и ограничена. Говорят, что число А является двойным интегралом от функции f по множеству G и при этом говорят, что функция f интегрируема по Риману по множеству G если для >0  : для {G_i}ⁿ_i=1 : r({G_i}ⁿ_i=1)< и для _iG_i будет выполняться соотношение |(f,{G_i}ⁿ_i=1,{M_i}ⁿ_i=1-A)|<.

Если число А является двойным интегралом от функции f по множеству G, то для него применяется следующее обозначение. A= или

Критерий интегрируемости функции f по Риману по множеству G. Для того чтобы функция была интегрируема по Риману необходимо и достаточно, чтобы для >0 {G_i}ⁿ_i=1 : _(f,{G_i})-_(f,{G_i})<. Если применить теорему Кантора о непрерывных функциях на компактах плоскости, то этот критерий показывает, что всякая функция f непрерывна на множестве G интегрируема по Риману на множестве G.

Замена переменных в двойном интеграле.

Непрерывные отображения плоских плоскостей. DR² D – открытое U(x,y), V(x,y) определены на D и непрерывны пара функций задает отображение множества D в плоскости R². F: каждой точки М(х,у)D  W(U(x,y), V(x,y)) F(M)=W. Будем говорить, что отображение F взаимнооднозначно, если для М₁М₂D => F(M₁)F(M₂). W=F(M) – образ точки М при отображении F. Отображение F взаимно однозначно отображает множество D на множество G если оно : взаимно однозначно и если при этом  точки W₀G  точка М₀D : F(M₀)=W

Утв: При выполнении вышеприведенных условий множество G обязательно открыто.

D – это D вместе с границей (замыкание)

Пусть функции определены и непрерывны на замыканииD.

Утв: Если отображение F было определено на D, то оно взаимно однозаначно отображает D на множество G и при этом точки границы области D обязательно переходят в границы G.

Определителем Якоби или якобианом называют J_F(M)=|U`<sub>x</sub> , U`_y ; V`<sub>x</sub> , V`_y| = U`<sub>x</sub>V`_y - V`<sub>x</sub>U`_y

Теор1: О практическом применении площади образа при отображении F. F: D  G вз-одн., имеются частные производные. Предполагаем, что площадь множества G конечна пл G=.(4)

Теор2:Пусть на множестве G определена h, интегрируемая по Риману на множестве G, тогда справедливо: .

Тройные интегралы

Опр: Объема множества ограниченных конечным числом кусочно-гладких поверхностей. VR³, R(h) – совокупность кубов. R(h)=ⁿ_i=1ⁿ_j=1ⁿ_k=1R_i,j,k(h), полагаем по определению R_ijk(h)=h³

V^(h) - объединение всех кубов из совокупности R_(h), которые целиком содержатся в фигуре V.

V^(h) - объединение всех кубов из совокупности R_(h), которые пересекаются с фигурой V (даже по 1 точке).

n⁺(h) – количество кубов, которые содержатся во множестве V⁺

n^-(h) – количество кубов, которые содержатся во множестве V^

Утв: если множество V ограничено и его границей является объединение конечного числа кусочно гладких поверхностей, то  lim n⁺(h)h³=объем V при h+0 = lim n^-(h)h³=объем V при h+0

Опр: Объемом V называется общая величина пределов, фигурирующих в предыдущем утверждении.

Опр: Пусть имеется VR³ V0, считаем, что оно ограничено конечным числом кусочно-гладких поверхностей. Разбиением V будем называть представление V виде V=ⁿ_i=1V_i, где V_i – ограниченная конечным числом кусочно-гладких поверхностей и выполняется ik => внутр. V_i внутр. V_i =. diam V_i=sup (MN), M,NV_i. Ранг разбиения – r({V_i})=max diam V_i при 1<i<n.

Опр: Пусть имеется разбиение V=ⁿ_i=1V_i; M_iV_i, f – определена на множестве M : f(M), интегральной суммой для разбиения {V_i} и {M_i} по определению называется (f,{V_i},{M_i})=ⁿ_i=1f(M_i) объем V_i (1).

Опр: Тройным интегралом от функции f по множеству V называется конечный предел lim (f,{V_i},{M_i}) при r({V_i})0 если он существует. Если для функции существует тройной интеграл, то она называется интегрируемой по множеству V по Риману. Для такого предела есть обозначение

Тройные интегралы существуют заведомо для следующих классов функций: 1) f – непрерывна в замыкании V. 2) f – ограничена на V и для некоторого разбиения V=ⁿ_i=1V_i функция f непрерывна на внутренних точках V_i.

Теор: Справедливы следующие равенства: это равенство сводит вычисление тройного интеграла к двойному и одинарному, говорят что в этом равенстве тройной интеграл выражается через повторный.

Теор: о выражении объема множества V в R³. Предположим, что функции имеют непрерывные частные производные по переменным x,y,z в V, тогда объем К = .

Криволинейные интегралы первого рода

Опр: С¹ гладкой кривой на плоскости (в пространстве) будем называть множество точек К в R² (в R³), которые задаются координатами ((t), (t)) в R² (((t), (t), (t)) в R³), где `, `, ` непрерывны на замкнутом промежутке (a,b). Множество таких точек Г{(t), (t)} a<t<b будем называть C¹ – гладкой кривой.

Будем называть С¹ замкнутой, если 1) (a)=(b), (a)=(b); 2) `(a)=`(b), `(a)=`(b).

Кусочно-гладкой кривой на плоскости или в пространстве будем называть Г=ⁿ_i=1Г_i, где Г_i является С¹ эти кривые не замкнуты: A_i=B_i-1.

Пусть имеется кусочно-гладкая кривая Г у нее есть параметризация ((t), (t)) t[a,b]. Разбиением кривой Г мы будем называть множество точек M₀,M₁…M_n; M_kГ; которые получаются следующим образом: мы берем разбиение t₀=a, t_n=b замкнутого отрезка [a,b] и полагаем M_k= по опр ((t_k), (t_k))

Рангом разбиения кривой r({M_i})=по опр max(t_i-t_i-1) 1<i<n.

Опр: Интегральные суммы для криволинейного интеграла 1 рода. Предположим, что есть кусочно-гладкая кривая Г, предположим, что на ней определена функция f, МГ определено число f(M). Есть некое разбиение Г : точки М_i=((t), (t)) получены из разбиения [a,b], выбраны числа  : [t_i-1,t_i] 1<i<n. Интегральной суммой для функции f и кривой L по длине дуги для данного разбиения M_i и набора точек {_i}, (f,{M_i},{_i})=ⁿ_i=1f(N_i)|M_i-1M_i|

M_i-1M_i=(((t_i)-(t_i-1))²+((t_i)-(t_i-1))²) => ⁿ_i=1f(N_i)|M_i-1M_i|=ⁿ_i=1f(_i),_i))(((t_i)-(t_i-1))²+((t_i)-(t_i-1))²)

Определение длины кусочно-гладкой кривой. L – кривая на плоскости, пусть она параметризирована на [a,b], длиной L называется предел S=lim (1,{M_i},{_i}) при r({M_i})0 (1). Число S называют длиной кусочно-гладкой кривой и обозначают равенством (1).

Неравенство Минковского U₁,U₂,V₁,V₂,W₁,W₂ в пространстве, тогда (U₁+U₂)²+(V₁+V₂)²+(W₁+W₂)²)<U₁²+V₁²+W₁²)+U₂²+V₂²+W₂²)

Теор: О вычислении криволинейного интеграла первого рода. Плоская кривая L – кусочно-гладкая. Задается ((t),(t)) при a<t<b. Задана функция f(M) непрерывная на L (это эквивалентно тому, что на замкнутом промежутке [a,b] функция F(t)=f((t),(t)). (1), тогда существует предел интегральных сумм (1,{M_i},{_i}) при r({M_i})0 называющийся криволинейным интегралом 1 рода от функции f на кривой L и который обозначается и для его вычисления справедлива формула (1)

Криволинейные интегралы второго рода:

Ориентация на кривой и ориентированые кривые. Пусть имеется незамкнутая кусочно-гладкая кривая L с концами А и В. Задать ориентацию такой кривой значит задать ее направление обхода, либо от А к В, либо наоборот. Говорят, что параметризированая кривая L задаваема функциями согласована с ее заранее выбраной ориентацией, если точка с координатами a)a)a), является ее началом, а b)b)b) – концом.

Зам: Если плоская кривая заваемая ((t), (t)) задается параметризацией несогласованой с имеющейся ориентацией, то можно преобразовать эту параметризацию к согласованной по формуле _(b-)+a) и т.д.

Опр: разбиения ориентированной кривой L. L (,) a=t₀<t₁<..<t_n=b {M_i}ⁿ_i=1, M_i=(t_it_i) – называется разбиением. Номера точек возрастают в порядке обхода кривой в выбранном направлении.

Интегральные суммы для криволинейных интегралов второго рода.

L – кусочно-гладкая кривая, имеется ее параметризация согласованая с ориентацией. Пусть имеется разбиение {M_i} M₀=A, M_n=B на кривой L определена и непрерывна функция f. Точка M_k получается от параметра t_k. Рассмотрим произвольные числа _k[t_k-1,t_k], обозначим N_k=((_k),(_k)). Интегральной суммой для ориентированой кривой L разбиения {M_i} параметров  времени t, по координате x _x(f,{M_i}_t,{_i})= f(N_i)|x_i-x_i-1| (1)

По координате y - _y(f,{M_i}_t,{_i})= f(N_i)|y_i-y_i-1| (2), для z аналогично, только в пространстве.

Опр: криволинейных интегралов второго рода. Есть разбиение {М_i}, то его ранг r{M_i}=max (t_i-t_i-1). Пусть имеется кривая L ориентированая, на ней определена и непрерывна функция f, тогда криволинейным интегралом второго рода от функции f по ориентированой кривой L и по переменной x называют предел (если он существует) lim_x(f,{M_i}_t,{_i}) =U при r({M_i})0, для y -=V,z-=W аналогично.

Теор: Если f непрерывна на кривой L, то для нее существуют числа U, V, W определяемые выше, обозначение - lim_x(f,{M_i}_t,{_i})=, для y,z аналогично.

Теор: Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Пусть L ориентрированая кривая, L задана параметрами (), согласованая с ориентацией L. Пусть на L определена и непрерывна функция f(M), тогда справедлива формула: (1); (2)

Зам1: В правых частях формул (1)-(3) фигурируют конкретные параметризации кривой L, в левых частях, конкретные параметризации не фигурируют и эти криволинейные интегралы зависят только от ориентированой кривой, функция f зависит только от x,y,z следовательно наличие равенств (1)-(3) показывает, что выбор ориентации не существенен.

Формула Грина. Пусть есть 2 кривые y₁(x)<y₂(x), которые определены и непрерывны на [a,b] и имеют там непрерывные производные. (13)

Теор: Грина формула (13) справедлива для любых областей G, ограниченных конечным числом кусочно-гладких кривых Г.

Поверхностные интегралы 1 рода:

Опр: Поверхность – конечное объединение S_k, для которых существует такой k=1 поворот координат x_k,y_k,z_k, при котором S_k={Z_k=f_k(x_k,y_k)}. S=ⁿ_k=1S_k – кусочно-гладкая поверхность, если все S_k имеют непрерывные частные производные.