М
инистерство
транспорта Российской Федерации
Московский
государственный университет путей
сообщения (миит)
Кафедра “организация и безопасность движения”
курсовой проект по дисциплине ”математические модели взаимодействия технических средств” на тему: «Оценка динамических качеств движения экипажей»
проверил: выполнил: профессор студент группы бБД-411 Хохлов а.а. Симонов С.А.
москва 2008
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.Введение……………………………………………………………………………....….3
2.Построение математических моделей и оценка безопасности движения простых систем без диссипации энергии …………………………………………………………...…..10
2.1.Оценка собственных колебаний системы с одной степенью свободы без демпфирования.……………………………………………………………………………...…11
Задача 1……………………………………………………………………………………15
2.2.Оценка безопасности движения при вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы без демпфирования ……………………………………...…………….…20
Задача 2…………………………………………………………………………………....23
3.Построение математических моделей и оценка безопасности движения системы при наличии гидравлических гасителей колебаний ……………............................................27
3.1.Оценка собственных колебаний системы с одной степенью свободы и наличии гидравлических гасителей колебаний.………………………………………………...….…..29
Задача 3…………………………………………………………………………………....34
3.2 Оценка безопасности движения при вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы и наличии гидравлических гасителей колебаний…………………....…40
Задача 4……………………………………………………………………………….......43
4.Построение математических моделей и оценка безопасности движения систем при наличии фрикционных систем гасителей колебаний……………………………………......46
4.1. Оценка собственных колебаний системы с одной степенью свободы и наличии фрикционных гасителей ……………………………………….…………………………...….48
Задача 5……………………………………………………………………………………50
4.2. Оценка безопасности движения при вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы и наличии фрикционных гасителей …………………...………………...55
Задача 6……………………………………………………………………………………59
5 Примеры построения математических моделей колебаний для систем со многими степенями свободы……………………………………………………………………………..62
5.1 Построение математических моделей колебаний для систем с двумя степенями………………………………………………………………………………….....…62
5.2 Построение математических моделей колебаний для систем с тремя и более степенями свободы……………………………………………………………………..…..…..71
Заключение………………………………………………………………………….……74
Список используемой литературы……………………………………………………...76
1. Введение Теоретические основы построения математических моделей взаимодействия подвижного состава и пути
Математические модели применяются во всех областях существования материи для оценки количественных и качественных процессов протекаемых явлений. Так как формой существования материи является движение, то для построения математических моделей движущихся тел разработаны специальные методы. Движение различных (механических, электрических и др.) систем изучается с помощью методов аналитической механики, которая, как один из разделов физики, сформирована на основе классических исследований Ньютона, Д'Аламбера, JIагранжа и других учёных.
Методической основой аналитической механики являются вариационные принципы, послужившие базой для создания дифференцированного и вариационного исчислений. Большое развитие эти принципы получили в трудах Гамильтона, Гаусса, Пуанкаре, Аппеля, Вольтерра, Больцмана, а также в грудах отечественных учёных Остроградского, Чаплыгина, Четаева, Жуковского, Понтрягина, Красовского и других учёных.
Применительно к движению механической системы вариационный принцип может быть сформулирован так:
если действительное движение системы описывается координатами zi(t), то работа сил, действующих на систему при вариации этих координат δzi должна равняться нулю.
То есть вариации координат δzi,рассматриваемые при застывшей связи и действительных приращениях по времени dt=0, равны
(1.1)
где zi'-координаты любого бесконечного близкого движения тела.
На основе вариационных принципов было установлено, что числом степеней свободы движущейся системы при наличии неголономных, нестационарных (реономных) связей, в общем случае является число независимых вариаций координат, а при их отсутствии и наличии голономных связей - число независимых координат.
Именно на основе вариационных принципов получены основные уравнения аналитической механики, применяемые для построения математических моделей, описывающих движение различных тел (в том числе и транспортных средств) и используемые для оценки безопасного движения подвижного состава. К ним относятся — принцип Д'Аламбера и уравнения Лагранжа.
Принцип Д'Аламбера
Твёрдое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы, три из которых соответствуют поступательным видам движения и три вращательным. Положение точки в пространстве определяется тремя координатами, характеризующими поступательное движение. Если на тело наложены связи удерживающие или неудерживающие, односторонние или двусторонние, стационарные (склерономные) или нестационарные (реономные), геометрические (конечные) или кинематические (дифференциальные), интегрируемые или не интегрируемые, голономные или неголономные, то они налагают на движение тела (его координаты, скорости движения и т.д.) дополнительные условия (связи через рессорные комплекты, в местах опирания тел др.). Кроме того, на тело действуют внешние силы, которые возмущают, возбуждают движение тела со стороны пути при наличии неровностей или в других местах (рис. 1.1).
Отбросим в системе связи, заменив их реакциями связей (Rz1, Rz2) и приложив к телу инерционные силы (mzII), инерционные моменты (IyφII), силы (Pz1, Pz2, Pz3) и моменты сил (P z1l, Pz2l) от внешнего воздействия, в соответствии с рассматриваемыми видами колебаний получим силовую схему системы (рис. 1.2).
Рис. 1.1 Расчётная схема Рис 1.2 Силовая схема системы системы
Тогда, при наличии связей и внешних сил вариационный принцип механики при движении тела в направлении любой из шести координат, например, для координаты z, будет иметь вид
(1.2)
где т - масса тела; zII - ускорение тела в направлении оси z; Rzi - проекция i-той реакции связи на ось z; Pzj - проекция j-той внешней силы на ось z.
Для построения математической модели движения твёрдого тела в декартовых координатах получим шесть уравнений, соответствующих шести координатам z, у, х, φ, ψ, Θ. Для железнодорожного подвижного состава эти координаты соответствуют колебаниям: z — подпрыгивания твёрдого тела, у - поперечного относа, х - подёргивания, φ -галопирования, ψ - виляния и Θ - боковой качки.
Уравнения имеют вид
(1.3)
где: mzII,myII,mxII - силы инерции, действующие в направлении осей z, у, х, соответствующие поступательным (линейным) видам движения; zII,yII,xII - линейные ускорения тела в направлении осей z, .у, х; IyφII, IzψII, IxΘII - моменты сил инерции, действующие на тело при вращении его относительно осей у (колебания галопирования), z (колебания виляния) и х (колебания боковой качки); Iy, Iz, Ix - моменты инерции (физические) твёрдого тела при вращении его относительно осей y, z, х; φII, ψII, ΘII — угловые ускорения тела при вращении его относительно осей .у, z, х; Rzi,Ryi,Rxi - проекции i-той реакции связей на оси z, у, х; MyRi,MzRi, MxRi - моменты i-той реакции связей относительно осей у, z, x; Pzj,Pyj,Pxj - проекции j-той внешней силы на оси z, y, x; MyPji,MzPj, MxPj - моменты j-той внешней силы относительно осей у, z, x.
Уравнения вида (1.3) носят название принципа Д'Аламбера (если к уравнениям статики добавить силы внешнего воздействия и фиктивные силы инерции, то получим уравнения динамики по принципу Д'Адамбера).
В уравнениях (1.3) первые три уравнения применяются для построения математических моделей поступательных видов движения твёрдого тела, когда на него действуют инерционные силы, а другие три уравнения - для вращательных видов движения твёрдого тела, когда на него действуют моменты сил инерции. Инерционные силы и моменты сил инерции определяются по второму закону Ньютона в зависимости от массы, физического момента инерции твёрдого тела, умножаемых соответственно на линейные и угловые ускорения, и направленных в сторону, противоположную направлению движения (применяется со знаком минус).
В уравнениях (1.3) суммирование по i и j производится алгебраически с учётом знаков сил и моментов, определяемых в соответствии с принятым произвольно правилом знаков, показывающим положительное направление осей координат. В расчётах по оценке безопасности движения подвижного состава обычно применяется правило знаков, показанное на рис. 1.3
Рис. 1.3 Принимаемое правило знаков при построении математических моделей
Тогда, в соответствии с выбранным правилом знаков, например, координата z и ускорение zII направлены вниз (рис. 1.2), а инерционная сила mzII будет взята со знаком минус, то есть направлена в противоположную сторону. Аналогично учитываем и другие инерционные силы и моменты сил инерции. Направления реакций связей определяются в соответствии с расчётной схемой при рассмотрении деформаций связей, возникающих при положительных смещениях твёрдого тела в направлении осей, заданных правилом знаков.